第二十三章旋转复习
一.本章知识结构图
三、本章教学重点、难点
重点：了解图形旋转的特征，认识旋转的基本性质、中心对称及其性质． 　　　　　　　　
难点：旋转图形性质的应用．
（一）图形的旋转
1．旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：
在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．
2．旋转的三个要素：
旋转中心、旋转的角度和方向.
3．旋转的性质：
（1)对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等.
例1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．
解：∵△A′B′C是由△ABC旋转所得，
∴∠B′＝∠ABC＝60°，B′C＝BC，
∴△B′BC是等边三角形．
∴∠BCB′＝60°.
∵∠BCD＝90°-60°＝30°，
∴∠BDC＝180°- (60°＋30°)
＝180°-90°＝90°．
4．简单图形的旋转作图：
（1）确定旋转中心；
（2）确定图形中的关键点；
（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.
例2． 把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
错解：旋转时，把∠AOB′看作90°进行了旋转．
正解：
按逆时针方向把OA旋转到OA′，使∠AOA′＝90°，把OB旋转到OB′，使∠BOB′＝90°，如图．
例2． 把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
1．中心对称和对称中心：
把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果它能和另一个图形完全重合，那么称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点.
（二）中心对称及中心对称图形
2．中心对称的特征：
成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
3．中心对称图形与对称中心：
在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
了解平行四边形、圆是中心对称图形.
4．中心对称和中心对称图形的关系：
例3．下列图形中，中心对称图形是 （　）
B
例4．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是( )
C
► 考点一　中心对称图形和轴对称图形
第23章复习
┃考点攻略┃
例5　下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(　　)
图23－1
B
[解析] B　根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知A是轴对称图形，但不是中心对称图形；B是中心对称图形，但不是轴对称图形；C是轴对称图形，但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形．
第23章复习
数学·新课标（RJ）
5.对称中心的确定：
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心.
6．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心；
（2）确定关键点；
（3）作关键点的关于对称中心的 对称点；
（4）连结各点，得到所需图形.
7、关于原点对称的点的坐标：
（a，b）关于原点的对称点是______
（-a,-b）
例6、点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是               ；
点P（-1，3）绕着原点顺时针旋转90o与P’重合，则P’的坐标为 ______
（1，-3）
（3，1）
第23章复习
► 考点二　与旋转变换有关的作图问题
例7　如图23－2所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－6,1)，点B的坐标为(－3,1)，点C的坐标为(－3,3)．
图23－2
(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2.
[解析] 本题是一道平移和旋转作图题，先根据平移的特征，可以先确定点A，B，C平移后的对应点A1，B1，C1.然后顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，即得平移后的三角形；根据旋转的特征，确定点A1，B1，C1旋转后的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接三个点即得Rt△A2B2C2.
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解：(1)A(－1,1)，如下图；(2)如下图．
图23－3
图23－3
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► 考点三　图案设计问题
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例8　用四块如图23－4(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图23－4(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
图23－4
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解：解法不唯一，如图23－5：
图23－5
► 考点四　旋转中的计算问题
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例9　如图23－6所示，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，BB′＝1 cm，则A′B的长是________cm.
图23－6
3
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[解析] 由旋转可知，△OAB≌△OA′B′，所以A′B′＝AB＝4 cm，所以A′B＝A′B′－B′B＝3(cm)．
► 考点四　旋转中的计算问题
例10　如图23－7①，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

图23－7
(1) 线段AF和BE有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2) 将图23－7①中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图23－7②，(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；
(3) 将图23－7①中的△ABC绕点C旋转一定的角度，画出变换后的图形，(1)中的结论是否还成立？
(4) 根据以上的活动，归纳你的发现．
[解析] 解答本题时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律．对于(1)问，利用三角形全等证明即可；对于(2)、(3)问，要明确在旋转的过程中，虽然△CEF或△ABC发生了变化，但二者之间全等的关系没变．故结论成立．
解：(1)结论：AF＝BE.证明如下：
在△ACF和△BCE中，AC＝BC，∠ACF＝∠BCE＝60°，FC＝EC，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF＝BE.
(2)AF＝BE这一结论仍然成立，理由是：
在△ACF和△BCE中，AC＝BC，FC＝EC，
∠ACF＝∠ACB－∠FCB＝60°－∠FCB＝∠FCE－ ∠FCB＝∠BCE，
∴ △ACF≌△BCE，∴AF＝BE.
(3)如图23－8，AF＝BE这一结论也是成立的．
图23－8
在△ACF和△BCE中，
AC＝BC，FC＝EC，
∠ACF＝∠ACB＋∠BCF＝60°＋∠BCF＝∠FCE＋∠BCF＝∠BCE，
∴ △ACF≌△BCE，
∴AF＝BE.
(4)　只要两个等边△ABC和△CEF有公共顶点C，不论两个三角形旋转至怎样的位置，总有AF＝BE.
例11．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有几个?
可以作为旋转中心的点有3个，即D、O、C.
例12.有甲、乙两棵“小树”，你能对甲“树”进行适当的操作，将它与乙“树”重合吗？写出你的操作过程.
解：可以先将甲“树”绕图上的A点旋转，使得甲“树”被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得“树”平移到B点位置，即可与乙树重合（如图2）.
本题将旋转与平移相结合.
例13．边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴, 反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中的阴影部分的面积是( ) A、2 B、4 C、8 D、6
C
旋转的应用：
例14．已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周长.
解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=1.
将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△DCM的位置.由旋转的特征可知AE=CM，DE=DM，∠ADE=∠CDM．
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=45°．
∴△DEF与△DMF关于DF成轴对称，
∴EF=FM．
△BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF
=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，
所以△BEF的周长为2．
训练：
1．把正方形ADCB绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE，边BC与GF交于点H（如图）．试问线段GH与线段HF相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
解：HG=HB．
证法1：连结AH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形．
∴∠B=∠G=90 °
由题意知AG=AB，又AH=AH．
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)
∴HG=HB.
解：HG=HB．
证法2：连结BG，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形．
∴∠ABC=∠AGF=90 °
由题意知AG=AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∴∠HGB=∠HBG
∴HG=HB.
2.下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到。
(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案
是_____;
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的
图案是____
(3)既可以由平移变换, 也可以由旋转变换得到的
图案是_____
①
②
③
④
⑤
⑥
① ⑤
② ⑥
③ ④
3.如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD旋转后到达△ACP的位置，则旋转中心是 ，旋转角度为____度，
△ADP是_______三角形.
A
60
等边
4．如图，点F为正方形ABCD的边CD上的一点，AB=4，AF＝5，将△AFD绕点A旋转到△AEB的位置，则四边形AECF的周长为多少？面积为多少？
AECF的周长=AF+AE+FC+CE=2AF+2BC=18
AECF的面积=ABCD的面积=16
5．如图，在线段BD上取一点C，（BC≠CD）以BC，CD为边分别作正△ABC和正△ECD，连结AD交EC于点Q，连结BE交AC于点P，连结PQ,AD与BE交于点F，
（1）图中哪些三角形可以
通过旋转互相得到？
（2）∠BFD等于多少度？
（3）PQ∥BD吗？若是，
说明理由？
F
Q
P
B
D
C
A
E
△ACD和△BCE
△EPC和△DQC
1200
PQ∥BD PC=QC △PCQ是正三角形
6.如图，△ABC中，AD是中线，△ACD旋转后能与△EBD重合(6分)
①旋转中心是哪一点？
②旋转了多少度？
③如果M是AC的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置？
D
1800
7.如图，平面上有两个边长都为8㎝的正方形ABCD和正方形A1B1C1D1,且正方形A1B1C1D1的顶点A1为正方形ABCD的中心，当正方形A1B1C1D1绕点A1旋转时，计算图（3）中两个正方形重合的面积是多少？图2呢？计算图（1）中，两个正方形重合部分的面积， 并说明为什么？
图（3）
图（2）
图（1）