第二十三章旋转复习
重点：了解图形旋转的特征，认识旋转的基本性质、中心对称及其性质． 　　　　　　　　
难点：旋转图形性质的应用．
（一）图形的旋转
1．旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：
在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．
2．旋转的三个要素：
旋转中心、旋转的角度和方向.
3．旋转的性质：
（1)对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等.
例1.台风“麦莎”过去后，许多大树被大风刮倒吹折.一棵笔直的大树被风吹折后倒地，折断点为B（B点离地面为树高的 处）.求∠B的度数.
例2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．
解：∵△A′B′C是由△ABC旋转所得，
∴∠B′＝∠ABC＝60°，B′C＝BC，
∴△B′BC是等边三角形．
∴∠BCB′＝60°.
∵∠BCD＝90°-60°＝30°，
∴∠BDC＝180°- (60°＋30°)
＝180°-90°＝90°．
4．简单图形的旋转作图：
（1）确定旋转中心；
（2）确定图形中的关键点；
（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.
例3． 把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
错解：旋转时，把∠AOB′看作90°进行了旋转．
正解：
按逆时针方向把OA旋转到OA′，使∠AOA′＝90°，把OB旋转到OB′，使∠BOB′＝90°，如图．
（二）中心对称
1．中心对称图形与对称中心：
在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
了解平行四边形、圆是中心对称图形.
例4．下列图形中，中心对称图形是 （　）
答案B
例5．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是( )
答案C
2．中心对称和对称中心：
把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果它能和另一个图形完全重合，那么称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点.
3．中心对称和中心对称图形的关系：
4．中心对称的特征：
成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
5.对称中心的确定：
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心.
6．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心；
（2）确定关键点；
（3）作关键点的关于对称中心的 对称点；
（4）连结各点，得到所需图形.
7、关于原点对称的点的坐标：
（a，b）关于原点的对称点是______
（-a,-b）
例6、点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是               ；
点P（-1，3）绕着原点顺时针旋转90o与P’重合，则P’的坐标为 ______
例7．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有几个?
可以作为旋转中心的点有3个，即D、O、C.
例8.有甲、乙两棵“小树”，你能对甲“树”进行适当的操作，将它与乙“树”重合吗？写出你的操作过程.
解：可以先将甲“树”绕图上的A点旋转，使得甲“树”被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得“树”平移到B点位置，即可与乙树重合（如图2）.
本题将旋转与平移相结合.
答案：C
旋转的应用：
例10．已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周长.
解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=1.
将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△DCM的位置.由旋转的特征可知AE=CM，DE=DM，∠ADE=∠CDM．
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=45°．
∴△DEF与△DMF关于DF成轴对称，
∴EF=FM．
△BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF
=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，
所以△BEF的周长为2．
例11．如图，水渠旁有一大块L形耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸.每块土地都要有水渠，怎么平分土地才能满足每个人的需要？
例5．把正方形ADCB绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE，边BC与GF交于点H（如图）．试问线段GH与线段HF相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
证法1：连结AH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形．
∴∠B=∠G=90 °
由题意知AG=AB，又AH=AH．
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)
∴HG=HB.
证法2：连结BG，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形．
∴∠ABC=∠AGF=90 °
由题意知AG=AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∴∠HGB=∠HBG
∴HG=HB.
6。下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到。
(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案
是_____;
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的
图案是____
(3)既可以由平移变换, 也可以由旋转变换得到的
图案是_____
①
②
③
④
⑤
⑥
① ⑤
② ⑥
③ ④
7如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD旋转后到达△ACP的位置，则旋转中心是 ，旋转角度为 ，△ADP是 三角形
10．如图，点F为正方形ABCD的边CD上的一点，AB=4，AF＝5，将△AFD绕点A旋转到△AEB的位置，则四边形AECF的周长为多少？面积为多少？
11．如图，在线段BD上取一点C，（BC≠CD）以BC，CD为边分别作正△ABC和正△ECD，连结AD交EC于点Q，连结BE交AC于点P，连结PQ,AD与BE交于点F，
（1）图中哪些三角形可以
通过旋转互相得到？
（2）∠BFD等于多少度？
（3）PQ∥BD吗？若是，
说明理由？
F
Q
P
B
D
C
A
E
12.如图，△ABC中，AD是中线，△ACD旋转后能与△EBD重合(6分)
①旋转中心是哪一点？②旋转了多少度？
③如果M是AC的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置？
14.如图，平面上有两个边长都为8㎝的正方形ABCD和正方形A1B1C1D1,且正方形A1B1C1D1的顶点A1为正方形ABCD的中心，当正方形A1B1C1D1绕点A1旋转时，计算图（3）中两个正方形重合的面积是多少？图2呢？计算图（1）中，两个正方形重合部分的面积， 并说明为什么？