23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及
应用这些概念解决一些问题.
2.运用旋转知识作图,旋转角度的变化,设计出不同的
美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概
念,并运用它解决一些实际问题.
如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？
答：两个图案能够完全重合在一起.
如图，线段AC,BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
A
B
O
C
D
可以发现，△OCD与△OAB重合.
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.例如，图中△OCD和△OAB关于点O对称，点C与点A是关于点O的对称点.
如图，旋转三角板，画关于点O 对称的两个三角形：
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A′B′C′；
第三步，移开三角板.
这样画出的△ABC 与△A′B′C′关于点O对称。分别连接对称点AA′、BB′、CC′.点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？ △ABC与△A′B′C′有什么关系？
C
A
B
C′
A′
B′
O
点A′是点A绕点O旋转180°得到,所以点O在线段AA′上,且OA=OA′,同样地，点O也是线段BB′和CC′的中点.
C
A
B
C′
A′
B′
O
我们可以发现：（1）点O是线段AA′的中点；
（2）△ABC≌ △A′B′C′，上述发现可以证明(1).
△ABC ≌ △ A′B′C′
C
A
B
C′
A′
B′
(2)在△AOB与△A′OB′中,
OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，
∴△AOB ≌ △ A′OB′
∴AB=A′B′.
同理 BC=B′C′，AC=A′C′.
O
关于中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对
称中心，而且被对称中心所平分.
关于中心对称的两个图形是全等图形.
【例1】如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O
的对称点A′；
（1）如图，连结AO，在AO的延长线上截取
OA′=OA，即求得点A关于点O的对称点A′.
A
O
A′
【解析】
【解析】如图，作出点A，点B，点C关于点O的对称点A′，B′，C′，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可以得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′
【例2】如图选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
A
B
C
O
C′
A′
B′
1.画出下面图形关于点O 对称的图形.
O
2.图形中的两个四边形关于某点对称,找出他们的对称中心.
o
1.画一个与已知四边形ABCD中心对称图形.
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC边的中点为对称中心.
E
F
G
M
O
N
2.如下图，点A、B为河塘两对岸的两座村庄，为了测量两
村庄间的距离，因条件限制，不能经过河塘直接测量.请
你想一想，能否利用所学的知识来解决这个问题呢？
【解析】由于测量时不能经过河塘，这就需要将两点（两庄）
在不改变AB两点之间的距离的情况下，移动到适当位置.
首先在河塘岸边适当的位置取一点C（如下图），连接AC、
BC（使保持AC、BC不经过河塘），分别将AC、BC延长到点A′、B′，使AC′AC，BC′BC；得到线段AB关于点C的中心对称图形A′B′，根据中心对称的特征有A′B′
AB，所以测出A′B′两点间的距离，就是A、B两点间的距离，也即两村庄间的距离。
3.（金华·中考）如图，在平面直角坐标系中， 若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称， 则对称中心E点的坐标是 .

【解析】由中心对称图形对应点的连线交于一点，可知E点的坐标是（3，-1）.
答案：（3，-1）.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．中心对称及对称中心的概念；
2.关于中心对称的的概念及运用它解决一些实际问题.
数学不可比拟的永久性和万能性及它对时间
和文化背景的独立性是其本质的直接后果.
——A•埃博