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22.3 实际问题与二次函数(第3课时)
【学习目标】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,正确建立坐标系,并运用二次函数的图象、性质解决实际问题.
【学习重点】建立坐标系,利用二次函数的图象、性质解决实际问题.
例 图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2 m时,水面宽 4 m . 水面下降 1 m,水面宽度增加多少?
探究“拱桥”问题
【思路探究】
(1)求宽度增加多少需要什么数据?
(2)表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上?
(3)如何求这组数据?需要先求什么?
(4)图中还知道什么?
(5)怎样求抛物线对应的函数的解析式?
问题3如何建立直角坐标系?
问题4 解决本题的关键是什么?
解一
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
此时,抛物线的顶点为(0,2)
解三
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.
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【巩固提高】
1、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为 20 m,拱顶距离水面 4 m.
(1)如图所示的直角坐标系中,求出这条抛物线表示的函数的解析式;
(2)设正常水位时桥下的水深为 2 m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于 18 m.求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.
2、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
∵AB=4
∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4
∴C(0,4.4)
设抛物线所表示的二次函数为
∵抛物线过A(-2,0)
∴抛物线所表示的二次函数为
∴汽车能顺利经过大门.
3、如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米
4、小燕去参观一个蔬菜大棚,大棚的横截面为抛物线,有关数据如图所示。小燕身高1.40米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围是多少?
小燕去参观一个蔬菜大棚,大棚的横截面为抛物线,有关数据如图所示。小燕身高1.40米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围是多少?
小燕去参观一个蔬菜大棚,大棚的横截面为抛物线,有关数据如图所示。小燕身高1.40米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围是多少?
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中考链接
1、(2014绍兴)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式
是 .
2、如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB以相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为
A.0.4米 B.0.16米 C.0.2米 D.0.24米
【课堂小结】
(1)这节课学习了用什么知识解决哪类问题?
(2)解决问题的一般步骤是什么?应注意哪些问题?
(3)你学到了哪些思考问题的方法?用函数的思想方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么?
【布置作业】
教科书习题 22.3 第 3 题.