22.1.2 二次函数y=ax2+k图象
复习：二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1,
y=x2-1的图象。
解：列表：
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
讨论
（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
讨论
（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2抛物线有
什么关系？
y=x2+1
8
6
4
2
-2
-5
5
x
y
y=x2-1
y=x2
把抛物线y=x2向下移
1个单位，就得到抛物
线y=x2-1；
抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1。
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到
哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？
思考
归纳：若K＞0，把抛物线y=ax2向上平移k个单位，就得到抛物线y=ax2+k；把抛物线y=ax2向下平移k个单位，就得到抛物线y=ax2-k
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=0.5x2，y=0.5x2+2 , y=0.5x2-2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。
你能说出抛物线y=0.5x2+k的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线y=0.5x2有什么关系？
y=0.5x2-2
y=0.5x2
y=0.5x2+2
想一想
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？
怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
总结
一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，
2、对称轴y轴（或x=0），
3、顶点坐标是（0，k），
4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧增
在对称轴右侧递减
递
（0，k）
(1)抛物线y=ax2＋c与y=－５x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是（０，３），则其表达式为　　　　　，它是由抛物线y=－５x2向　　平移　　个单位得到的．
例题
y=－５x2＋３
上
３
(2)抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形状相同，且其顶点坐标是（０，１），则其表达式为　　　　　　　　　　　，
y=３x2＋１
或y=－３x2＋１
练习：
4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么及增减性如何？
（1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1 (4) y= −2x2+3
y=-2x2+3
y=-x2-7
y=0.5x2-2.5
5.(1)抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在___ 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= _____ 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= −2x2线怎样平移得到的__________.
练习
（ 2）抛物线 y= x²-5 的顶点坐标是____，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的值最___，最小值是 .
1、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2） （0，-1）求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，
做一做：
k
2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
3.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
4.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该二次函数解析式。
5.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
C
＜
小结：函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
向上
向下
y轴
y轴
(0，k)
(0，k)
|a|越大开口越小，反之开口越大。
拓展练习
1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移5个单位，可以得到抛物线 ；
2.对于函数y= –x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值,为 。
＜0
＞0
=0
大
0
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)

5.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
C
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和
二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）