22.2 二次函数图象和性质
知识回顾
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
一次函数y=kx+b的图象是一条直线
图象从左到右呈上升趋势； y的值随着x值的增大而增大。
图象从左到右呈下降趋势； y的值随着x值的增大而减小。
描点法
当b=0,c=0时，得到最简单的二次函数y=ax2。
定义：形如y=ax²+bx+c的函数叫做x的二次函数.
(a,b,c是常数,a≠0)
探究新知
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
9
4
1
1
0
4
9
描点,连线
y=x2
做二次函数y=-x2的图象
做一做
在学中做—在做中学
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
抛物线 与它的对称轴的交点
（0，0）叫做抛物线 的顶点
它是抛物线 的最低点．
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
对称轴是y轴
这条抛物线是轴对称
图形吗？如果是，
对称轴是什么？
抛物线与对称轴
有交点吗？
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小.
y
抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
归纳
①一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 ， 越大，抛物线的开口越小。
②当 时，抛物线y=ax2在x轴的 方(除顶点外)，开口向 ，并且向 无限伸展，顶点是抛物线的最 点，在对称轴 侧，y随x的增大而减小，在对称轴 侧，y随x的增大而增大，x= 时函数y有最 值为 。
当 时，抛物线y=ax2在x轴的 方(除顶点外)，开口向 ，并且向 无限伸展，顶点是抛物线的最 点，在对称轴 侧，y随x的增大而减小，在对称轴 侧，y随x的增大而增大，x= 时函数y有最 值为 。
y轴
原点
IaI
a>0
a<0
上
上
上
左
左
右
右
下
下
下
低
高
0
0
0
0
小
大
识记训练
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
课堂练习
例题与练习
1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
例题与练习
例1.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2,
A、D
函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
观察
共同点:
不同点:
开口都向上;
顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a|越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
抛物线的开口越小。
观察
函数y=－ x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2
(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点:
开口都向下;
不同点:
顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a| 越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口越小．
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5

对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
在同一坐标系内,抛物线 与
抛物线 是关于x轴对称的.
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
归纳小结
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口就越小.
|a|越小,
抛物线的开口就越大.
1、二次函数y=ax2的图象是什么？
2、二次函数y=ax2的图象有何性质？
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
小结
归纳
二次函数 的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴是y轴，
顶点是原点。
归纳
二次函数 的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上，顶点是最低点，
a值越大，抛物线开口越小；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
归纳
二次函数 的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点，
a值越大，抛物线开口越大；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
巩固
1、说出下列函数图象的性质：
2、已知二次函数 的图形经
过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式；
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
巩固
巩固
3、若抛物线 的开口
向下，求n的值。
巩固
4、若抛物线 上点P的坐标为
(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点
P’的坐标为 。
巩固
5、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
y1、 y2、y3的大小关是 。
(m+3，y3)在抛物线 上，则
练习1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
练习2、若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线 上，则线段PQ的长是（ ）
再见
只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.
结束寄语
例3、一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点（－1，－4）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）对称轴的左侧，y随x的增大而怎样变化？
（4）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
（1）令点P（x，y），求△OPA的面积S与x,y的关系；
（2）S是y什么函数？S是x的什么函数？
（2）B点的坐标；
（3）△AOB的面积。
(1)求直线和抛物线所表示的函数解析式；
(2)如果抛物线上有一点D，使得S△OAD=S△OBC,求点D的坐标。