22.1.2 二次函数
的图象和性质
复习
一般地,形如
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数:
在下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x+5;

(2)y=(x+3)2-5x;

(3)y=(2x-1)2-4x2.
解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
y=x2
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
列表时应注意
什么问题？
描点法
列表
描点
连线
描点时应以哪些数值作为点的坐标？
连线时应注意什么问题？
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
抛物线 与它的对称轴的交点
（0，0）叫做抛物线 的顶点
它是抛物线 的最低点．
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
对称轴是y轴
这条抛物线是轴对称
图形吗？如果是，
对称轴是什么？
抛物线与对称轴
有交点吗？
例题与练习
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
…
…
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
观察
共同点:
不同点:
开口都向上;
顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a|越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
抛物线的开口越小。
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
…
…
…
…
…
…
-４
-2.25
-１
-0.25
０
０
０
-0.25
-１
-2.25
-４
-2
-2
-８
-８
-２
-２
-０.５
-０.５
-０.５
-０.５
-１.１２５
-１.１２５
-０.１２５
-０.１２５
-4. 5
-4. 5
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5

-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5

观察
函数y=－ x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2
(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点:
开口都向下;
不同点:
顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
开口大小不同;
|a| 越大，
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口越小．
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
在同一坐标系内,抛物线 与
抛物线 是关于x轴对称的.
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
课堂练习
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
归纳小结
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口就越小.
|a|越小,
抛物线的开口就越大.
课堂练习
1、函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ___
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
3、函数y= x2的图象的开口 ,对称轴
是 ,顶点是 ;
4、函数y= －0.2x2的图象的开口 ,
对称轴是___,顶点是 ;
耐心填一填
;
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
5、抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），
当 x〈 0 时，y随着x的 ；
当 x 〉0 时，y随着x的 ，
当 x = 0 时，函数y的值最大，最大值是 ，
当 x 0 时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
6、若抛物线 上点P的坐标为
(2，a)，则抛物线上与P点对称的点
P’的坐标为 。
课堂练习
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是
( )
(A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等;
(B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应.
(C) 对任一个实数y,有两个x和它对应.
(D) 对任意实数x,都有y＞0.
课堂练习
8、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
y1、 y2、y3的大小关系是 。
(m+3，y3)在抛物线 上，则
课堂练习
9、已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
课堂练习
10、已知二次函数 的图象经
过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式；
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
课堂练习
11、若抛物线 的开口
向下，求n的值。
课堂练习