22.1 .3 二次函数图象和性质(5)
1． 的顶点坐标是________，对称轴是__________
2．怎样把 的图象移动，便可得到
的图象？
（h，k）
复习提问
直线x＝h
3． 的顶点坐标是 ，对称轴是 ．
(－2，－5)
直线 x＝－2
4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状

我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为
，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？
新课
的图象怎样平移就得到
那么一般地，函数
的图象呢？
解：

顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
答案： ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
的形式，求出顶点坐标和对称轴。
练习1 用配方法把
化为
的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：
化为
的形式。
2．用公式法把抛物线
把
变形为
所以抛物线
的顶点坐标是
，对称轴是直线
。
的形式，求出对称轴和顶点坐标．
例2 用公式法把
化为
解：在
中，
，
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
的形式，并求出顶点坐标和对称轴。
答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x＝2
练习2 用公式法把
化成
3．
图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把
化为
的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。
的图像，利用函数图像回答：
例3 画出
(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．
(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是
的图象。
解：列表
2
2
1
0
0
－6
3
0
4
－6
…
…
…
…
（2,2）
·
·
·
·
·
x=2
（0,－6）
（1,0）
（3,0）
（4,－6）
由图像知：
当x＝1或x＝3时，
y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
(4)当x＝2时，
y有最大值2。
x
y
练习3 画出
的图像。
x=1
y=x2－2x＋2
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（1）顶点坐标
（2）对称轴是直线
如果a＞0，当
时，函数有最小值，
如果a＜0，当
时，函数有最大值，
（4）最值：
①若a＞0，当
时，y随x的增大而增大；
当
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
时，y随x的增大而减小；
当
时，y随x的增大而增大。
（5）增减性：
与y轴的交点坐标为（0，c）
(6)抛物线
与坐标轴的交点
①抛物线
②抛物线
与x轴的交点坐标为
，其中
为方程
的两实数根
与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程
(7)抛物线
的根的判别式判定：

① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交；
② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切；
③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
例4 已知抛物线
①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以
，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即
，整理得
，解得：
④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。
所以当x＝2时， 。
解法一（配方法）：
例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？
因为
所以当x＝2时， 。
因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值，
总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．
解法二（公式法）：
又
例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： ，
∴抛物线开口向下，
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
解法二：
，∴抛物线开口向下，
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．
由②解方程得
所求函数解析式为
。
相等，则形状相同。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若
①a＞0开口向上；
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
②a＜0开口向下。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
，故
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，
①c＝0抛物线经过原点；
②c＞0与y轴交于正半轴；
③c＜0与y轴交于负半轴。
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．
(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．
解：
(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断a的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以
，而a＜0，故b＞0；
判断b的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；
判断c的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标
，且a＜0，所以
，故
。
判断b2－4ac的符号
，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
(5)因为顶点横坐标小于1，即
判断2a＋b的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；
判断a＋b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．
判断a－b＋c的符号