22.1.3二次函数y=ax²+k的图象
温故知新
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
二次函数的图像
例1. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2－1的图像
解: 列表
描点
连线
二次函数的图像
(1) 抛物线y=2x2+1,y=2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2有什么关系?
思考
（1）抛物线y=2x2+1:
开口向上,
顶点为(0,1).
对称轴是y轴,
抛物线y=2x2－1:
开口向上,
顶点为(0, －1).
对称轴是y轴,
(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2的异同点:
y=2x2+1
抛物线y=2x2
抛物线 y=2x2－1
向上平移
1个单位
抛物线y=2x2
向下平移
1个单位
y=2x2－1
y=2x2
抛物线 y=2x2+1
相同点：
①形状大小相同
②开口方向相同
③对称轴相同
不同点：
顶点的位置不同，抛物线的位置也不同．
●
●
●
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4个单位呢？
(1)得到抛物线y=2x2+5
(2)得到抛物线y=2x2－3.4
总结
抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是：（k>0）
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，
而顶点位置和抛物线的位置不同．
抛物线之间的平移规律：
抛物线y=ax2
抛物线 y=ax2－k
向上平移
k个单位
抛物线y=ax2
向下平移
k个单位
抛物线 y=ax2+k
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。
上加下减
相同
上
k
下
|k|
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
向上
y轴
(0,k)
减小
增大
0
小
k
向下
y轴
(0,k)
增大
减小
0
大
k
观
察
思
考
例：在同一个直角坐标系中，画出函数y=-x2和y=-x2+1的图像，并根据图像回答下了问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 其图像与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是
（3）试说出抛物线y= x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标
一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上（ k＞0）或向下（ k＜0）平移 个单位得到的。
当a＞0时，抛物线y=ax2+ k的开口向上, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值= k
当a＜0时，抛物线y=ax2+ k的开口向下, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值= k
二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,
抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象
向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象
可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得
y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个
单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上
5
下
11
下
4
上
7
上
9
小试牛刀
（3）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
（4）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
下
y轴
(0,5)
减小
增大
0
大
5
上
y轴
(0,-3)
减小
增大
0
小
-3
小试牛刀
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和
二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（ ）
B
7.抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形状相同，且其顶点坐标是（０,１），则其表达式为__________________________，
y=３x2＋１
或y=－３x2＋１
8、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过 （1，2）的点的解析式，
（4）抛物线y=ax2＋c对称轴是y轴，顶点（0，-3）， 且经过（1，2），求抛物线的解析式.
9已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )
x1
x2
x3
x4
y1
y4
y3
y2
A.y1>y2>y3>y4
B.y2>y1>y3>y4
C.y3>y2>y4>y1
D.y4>y2>y3>y1
B
10 已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c C. –c D. c
D
11.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
课时时小结
向上
向下
(0 ,k)
(0 ,k)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小= k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|k|个单位得到.
|a|越大开口越小，反之开口越大。
1 某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.
试一试
x
y
A
B
O
C
解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4
根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0)
将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得
0=0.64a+2.4
∴a=_
涵洞所在抛物线的函数解析式为y=_ x2+2.4
2.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4 米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4 米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,
设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.
故0=24a+c,3=12a+c,
其顶点为(0,6),
(6-3)÷0.25=12小时.
再见