22.1.3.二次函数
26.1.3 y=a(x-h)2+k的图像和性质2
1.填表
复习回顾:
(0, 0)
(1, 0)
(- 1, 0)
(0, 0)
(0, 1)
(0, - 1)
向下
向下
向下
向上
向上
向上
x=0
x=0
x=0
x=0
x=1
x= - 1
（0,3）
（0,-3）
如何由
的图象得到
的图象。
2.上下
平移
、
x= - 2
(-2,0)
(2,0)
x= 2
如何由
的图象得到
的图象。
、
3.左右
平移
5.二次函数y=ax2
的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
（0，0）
（0，0）
直线x=0
直线x=0
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
6.二次函数y=a(x-h)2
的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移 个单位
y=a(x-h)2
y=ax2
当c>0时,向上平移c个单位
当c<0时,向下平移 个单位
4.上下平移规律
左右平移规律
平移的规律总结：
平移的规律总结：
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移 个单位
当k>0时,向上平移k个单位
当k<0时,向下平移 个单位
的图像可以由
向上平移一个单位
向右平移一个单位
向右平移一个单位
向上平移
一个单位
先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.
观察

的图像
x=-2
(-2,2)
(-2,-3)
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口
方向
增减性
最值
（-2，2）
（2，-3）
直线x=-2
直线x=2
向上
向下
当x=-2时,
最小值为2
当x=2时,
最大值为-3
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
开口 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=3
(3,–5)
向下
直线x= –1
(–1,0)
向下
直线x=0
(0,–1)
向上
直线x=2
(2, 5)
向上
直线x= – 4
(– 4,2)
向下
直线x=3
(3,0)
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
考考你学的怎么样：
y=(x+1)2+3
y=x2+3
2．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
y=(x+4)2
y=(x+2)2+1
3．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
y=3(x+3)2-2
y=-3(x+6)2
(-1,0)
(-1,3)
x=-1
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
得到_____________的图像．
9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______．
右
2
y=-3x2-1
(-3,-2)
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是
y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3).
由这段抛物线经过点（3，0）可得
0＝a(3－1)2＋3.
解得
因此
当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m.
10.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0；
当x在 _____ 范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3
0或-2
<
－2 < x<0
-1
3
11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；

(2)y=(x+4)2－5
12.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为 ．
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3
12.已知一条抛物线的形状与开口方向都与抛物线y= –x2相同，它的顶点在直线y=2x+1上，且经过这条直线与x轴的交点，求这条抛物线的解析式。
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
(1,-1)
(0,0)
(2,0)
当x 时，y﹤0。
当x 时，y=0;
（2）根据图象回答：
当x 时，y>0;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，
∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)，
∴0= a(0-1)2-1，
∴a=1
∴y= (x-1)2-1
x<0或x>2
0< x<2
x=0或2