九 年 级 数 学
第22章 第一节
二次函数y=ax2的图象与性质
复习
二次函数的定义：
一般地，形如
1.你知道下列函数的图象分别是什么吗？
导入
一条直线
一条直线
双曲线
2.用什么方法画函数的图象？
描点法
列表、描点、连线
x
y=x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
画函数y=x2的图象
请画函数y=－x2的图像
解: (1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.
y=－x2
探究:观察y=x2,y=-x2的图象,具有怎样的对称性?
这两个图象都关于y轴对称.
定义:函数y=x2,y=-x2的图象都是一条曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.
y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
y=x2
y=－x2
一般地，二次函数y=ax²+bx+c的图象叫做抛物线y=ax²+bx+c.
探究：观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律.
1.抛物线y=x2的图象开口向上,
抛物线y=-x2的图象开口向下.
2.图象的顶点都在原点.
y=x2的顶点是图象的最低点,
y=-x2的顶点是图象的最高点.
y=x2
y=－x2
3.y=x2

y=-x2
对称轴的左侧:y随x的增大而减小;对称轴的右侧:
y随x的增大而增大。
对称轴的左侧:y随x的增大而增大;对称轴的右侧:
y随x的增大而减小。
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
1. 对称轴都是y轴;
3.图象的顶点都在原点.
当a>0时，顶点是图象的最低点,
当a<0时，顶点是图象的最高点.
探究：观察图形，Y随X的变化如何变化？
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
y=- x2
x
y
o
-8
10
y= x2
当a＞0时，
对称轴的左侧:y随x的增大而减小；
对称轴的右侧:y随x的增大而增大。
当a＜0时，
对称轴的左侧:y随x的 增大而增大；
对称轴的右侧:y随x的增大而减小。
y= ax2与y= -ax2关于x轴对称
二次函数 y=ax2 的图象与性质:
二次函数y=ax2的性质
开口
方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上
开口向下
关于y轴对称，对称轴是y轴即直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
范例
例1、在同一平面直角坐标系中，画出
下列二次函数的图象：
比较几个二次函数的图象，你有
什么发现？
新授
开口大小与什
么有关？
巩固
2、在同一平面直角坐标系中，画下列
二次函数的图象：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
y
|a|越大，抛物线开口越小
巩固训练
.下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为
(4),(2),(3),(1)
|a|越大，抛物线开口越小
范例
例2、已知二次函数 的图形经
过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式；
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中，可能是（ ）
A
B
C
D
B
巩固
4、若抛物线 的开口
向下，求n的值。
5、若抛物线 上点P的坐标为
(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点
P’的坐标为 。
6、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
y1、 y2、y3的大小关系是 。
(m+3，y3)在抛物线 上，则
小结
二次函数 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标；
(2)开口方向、最值、开口大小；
(3)对称轴两侧增减性。