22.2.3一元二次方程的解法
--因式分解法
温故而知新
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
(2)配方法:
x2=a (a≥0)
(x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法:
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b).
思 考
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过X秒物体离地高度（单位：米）为10X-4.9X 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01S）
2
10X-4.9X2=0 ①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
于是得
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0表示物体被上抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
以上解方程 的方法是如何使二次方程降为一次的？
①
②
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:

方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零”
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
X+2=0 或 x－2=0
∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
重点 难点
重点：
用因式分解法解一元二次方程
难点：
正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式）
例3 解下列方程:
(1)x(x-2)+x-2=0;
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1.化方程为一般形式;
例1、解下列方程
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0
解：原方程可变形为
(3x+1+
)(3x+1－
)=0
3x+1+
=0或3x+1－
=0
∴ x1=
, x2=
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 。
2o将方程左边分解成两个 的乘积。
3o至少 因式为零，得到两个一元一次方程。
4o两个 就是原方程的解。
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
练习：书P40练习
解:
练习
1.解下列方程：
.
解:
练习
1.解下列方程：
.
解:
解:
解:
解:
解:
练习
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形
场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
十字相乘法因式分解
一丶教学目标:
二丶复习提问; 1:计算:
(1). (x+2)(x+3); (2). (x+2)(x-3);
十字相乘法因式分解
二丶复习提问; 1:计算:
(3). (x-2)(x-3); (4)(x+a)(x+b);
三丶试一试:
反过来:
(x+a)(x+b)
a与b和是一次项的系数
x
x
6
-3
(1).因式分解竖直写;
(2).交叉相乘验中项;
6x-3x=3x
(3).横向写出两因式;
(x+6)和(x-3)
解:原式=
(x+6)
(x-3)
例2把
x

x
3

-5
(x+3)
(x-5)
a

a
5

2
解:原式=
(a+5)
(a+2)
-5x+3x=-2x
5a+2a=7a
练习一选择题:
结果为
结果为
结果为
B
A
C
D
练习二丶把下列各式分解因式:
解:原式=(x+3)(x+1)
解:原式=(y-3)(y-4)
解:原式=(m+9)(m-2)
解:原式=(p-9)(p+4)
解
解
解
解
十字相乘法分解因式:
例2 解下列方程
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
观察下列各式,也许你能发现些什么
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
右化零　　左分解
两因式　　各求解
简记歌诀：