21.2.2一元二次方程的解法
---公式法
对于方程
（2）方程两边同除以a，得　　　　　　　　　　　.
（1）将常数项移到方程的左边，得　　　　　　　.
（3）方程两边同时加上_______，得
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
用配方法解
公式的推导很重要
∵a≠0, 4a2>0,
∴当b2－4ac≥0时，
∴
∴
公式的推导很重要
特别提醒推导时必须写
一元二次方程
解的情况由
决定:
(1)
当
时，
方程有两个不相等的实数根；
(2)
当
时，
方程有两个相等的实数根；
(3)
当
时，
方程没有实数根.
根的判别式
一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定．
将a，b，c代入式子
当
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
一元二次方程的求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
时，
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
∴ x = =
=
即 x1= - 3 ,
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
①
②
③
④
填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0
解：a= ，b= ，c = .
b2-4ac= = .
x= = .
= .
即 x1 = , x2 = .
3
5
-2
52-4×3×(-2)
49
-2
1.用公式法解下列方程：
(1) x2 +2x =5
(a≠0, b2-4ac≥0)
细心填一填：
做一做
例2 用公式法解方程：
x2 – x - =0
解：方程两边同乘以3,
得 2 x2 -3x-2=0
∴x=
解：移项，得
x2 -2 x+3 = 0
a=1，b=-2 ，c=3
b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴x=
x1 = x2 =
当 时，一元二次方程有两个相等的实数根。
b2-4ac=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
2.用公式法解下列方程：
(4)4x2-3x+2=0
当 时，一元二次方程没有实数根。
b2-4ac＜0
解：去括号，化简为一般式：
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= .

2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0
有两个相等的实数根，则n= .
0
-1或4
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
本节课我有哪些收获？
我认为本节课的重点是什么？
想一想 记一记 问一问
我还有哪些疑点？
课下可要多交流呦！
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式,通常用△表示.
判别式定理
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0
判别式逆定理
若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0
若方程没有实数根,则b2-4ac＜0
若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
即一元二次方程：
记住了，别忘了!
一元二次方程根的判别式
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根.
(4)当Δ≥0时，方程有两个实数根
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面
的知识主要用来求字母取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.

2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为
“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
应用1. 不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数)
(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数)
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
解：△=4 k2-16k+16
∴ △ > 0方程有两个不等实根
解：△=m2-4m+8
=m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
∴ △≥ 0方程有实根
含有字母系数时，将△配方后判断
根的判别式问题
1、不解方程，判断根的情况.
(1)2x2-4x-5=0;
(2)x2-(m+1)x+m=0.
=56
>0
∴方程有两个不相等的实数根；
∴当m-1=0时，
≥0
方程有两个相等的实数根；
方程有两个不相等的实数根；
当m-1≠0时，
解：
解：
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ）
A 、 m ﹥0 B 、 m ≥ 0
C 、 m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得
m-1≠0①
⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②
解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
D
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程
m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4
对吗？
∴m >- 1/4 且m≠0
注意二次项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
根的判别式问题
解：
∵
一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴
k≠0，
又∵
= 4-12k
∴
4-12k ≥0，
解得
∴
当
方程有实数根.
且
k≠0 时，
问题三
求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根
证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157
=（m-11）2+36
∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根
小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式
3、证明字母系数方程有实数根或无实数根
例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.
把判别式配方
根的判别式问题
解：
∵
>0
∴方程有两个不相等的实数根；
问题四：解含有字母系数的方程。
解：
当a=0时，-5x+1=0 x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
相信自己一定行！
(2008年北京市)已知 :关于
的一元二次方程
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
课堂达标检测
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程


有两个等根，试判断△ABC的形状.
解：利用Δ ＝0，得出a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
典型例题解析
例6.一元二次方程
有两个实数根,则m的取值范围是
______________
变
抢答：
2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
有两个实数根的方程的序号是（ ）

没有实数根的方程的序号是（ ）
任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根
a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根
一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0　得
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
小结:
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不要弄错。
三、当 b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac＞0时，一元二次
方程有两个不相等的实数根。
当 b2-4ac＜0时，一元二次
方程没有实数根。
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、解一元二次方程有哪四种方法？
知识回顾
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
的一元二次方程都可用直接开平方法解.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程;
先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
公式法是解一元二次方程的通法.
解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流.
公式法是解一元二次方程的通法.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程;
因式分解法适用于某些一元二次方程．
开平方法适用于缺项的一元二次方程;
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是 ( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.下列一元一次方程中，有实数根的是
( )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
C
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
D
课时训练
5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
D
7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0
有两个相等的实数根，则k= .
2
8.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,
其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m
=m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2，
m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，
x＝3/2或x=1.
6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( )
A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
A