第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?
观察
每组的两个图形有什么特点?
完全重合
观察
把一块三角板按在纸上，画下图形，照图形剪下纸板。剪下的纸板与三角板大小、形状完全相同吗？他们能够完全重合吗？
想一想
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
能够完全重合的两个图形叫做全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
概念
全等形包括规则图形和不规则图形全等
两个图形全等，它们的形状一定相同 ，大小一定相等！
形状相同
大小相同
观察
下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？
形状不同
观察
大小不同
观察
下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？
思考
A
C
B
D
E
下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？
思考
A
B
C
D
A
D
E
下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？
思考
B
D
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
1、能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形
2、把两个三角形重合到一起．
重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，
重合的角叫做对应角。
全等三角形的概念
对应顶点是点A和点D，
点B和点E，点C和点F；
对应边是AB和DE，
AC和DF，BC和EF;
对应角是∠A和∠D，
∠B和∠E,∠C和∠F
“全等”用符号“≌ ”表示
图中的△ABC和△DEF全等，
记作:△ABC≌ △DEF
读作:△ABC全等于△DEF
全等三角形的表示
你能否直接从记作∆ABC≌ ∆DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角？
A
B
C
D
E
F
?
!
注意
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？
寻找各图中两个全等三角形的对应元素。
观察与思考
E
A
D
C
B
F
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
如图：∵△ABC≌ △DFE
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
几何语言：
∵△ABC≌ △DFE
∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
图形语言：
全等三角形的性质
例题讲解，掌握新知
如图, △ABC≌△DCB，
指出所有的对应边和
对应角。
O
解：∵△ABC≌△DCB
∴AB与DC，BC与CB，
AC与BD是对应边
∠A与∠ D，∠ABC与∠DCB，
∠ACB与∠DBC是对应角
例题讲解，掌握新知
O
图中△ABO≌△DCO，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角。
解：∵△ABO≌△DCO
∴AB=DC，BO=CO，AO=DO
∠A=∠ D，∠ABO=∠DCO，
∠AOB=∠DOC
A
B
C
D
E
F
∵△ACB≌△DEF
∴AB=DF, CB=EF,AC=DE.
∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C= ∠DEF.
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
探究交流
A
B
C
D
∵△ABC≌△ABD
∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD
∠C= ∠D.
规律一：有公共边的，公共边是对应边
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
探究交流
A
C
D
B
∵△AOC≌△BOD
∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.
∴∠A=∠B,∠C=∠D,
∠AOC= ∠BOD.
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
o
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
探究交流
A
B
C
D
E
∵△ABC≌△ADE
∴AB=AD,AC=AE,
BC=DE
∴∠A=∠A,∠B=∠D,
∠ACB= ∠AED.
规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
探究交流
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD,AC=FE,
BC=DE
∴∠A=∠F,
∠B=∠D,
∠ACB= ∠FED.
规律五：一对最大的角是对应角
一对最小的角是对应角
A
B
C
F
D
E
规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边
探究交流
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。
1.有公共边的，公共边一定是对应边。
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
规律
找出下列全等三角形的对应边、对应角
△ABD≌△CBD
课堂练习
找出下列全等三角形的对应边、对应角
△AOD≌△COD
课堂练习
找出下列全等三角形的对应边、对应角
△ABC≌△ADE
课堂练习
找出下列全等三角形的对应边、对应角
△ADE≌△CBF
课堂练习
找出下列全等三角形的对应边、对应角
△ABN≌△ACM
△ABM≌△ACN
课堂练习
找出下列全等三角形的对应边、对应角
△AOB≌△DOC
△ABC≌△DCB
O
课堂练习
如图, △ABD ≌ △EBC
2、如果AB=3cm,BC=5cm, 求BE、BD的长.
∴BE=3cm,BD=5cm
解：∵△ABD ≌ △EBC
∴AB=EB，BC=BD
∵AB=3cm,BC=5cm
1、请找出对应边和对应角。
AB 与 EB、BC BD、AD EC，
∠A　∠BEC、∠D　∠C、∠ABD　∠EBC
课堂练习
如图, △EFG≌△NMH
2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,
HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2
解：∵△EFG ≌ △NMH
∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.3
1、请找出对应边和对应角。
课堂练习
△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，说出△ACE中各角的大小？
解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠AEC= ∠ADB=1000 ，
∠C= ∠B=300，
又∵∠A+∠AEC+∠C=180°
∴∠A=1800- ∠AEC- ∠C
=1800-1000-300=500
课堂练习
如图,已知△ AOC ≌ △BOD
求证：AC∥BD
能力提高
把四边形ABCD纸片沿EF折叠使点C落在四边形ABCD内部，如图,则∠C与∠1+∠2之间的一种数量关系始终保持不变，这个规律是( )
∠C=∠1+∠2
2∠C=∠1+∠2
3∠C=∠1+∠2
3∠C=2(∠1+∠2)
B
能力提高
互相重合的角叫做＿＿＿
互相重合的边叫做＿＿＿＿
其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿
2. 叫全等三角形。
1.能够重合的两个图形叫做 。
全等形
4.全等三角形的 和 相等
对应边
对应角
对应顶点
课 堂 小 结
能够完全重合的两个三角形
3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”
对应边
对应角
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上
全等于
≌
再见
学习几何的关键是要开动脑筋
12.1 全等三角形的判定
第十二章 全等三角形
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
全等三角形的性质是？
全等三角形的对应边相等，
对应角相等
反过来成立吗？
本节就来讨论这个问题
先任意画出一个△ABC，再画一个
△A’B’C’，使△ABC与△A’B’C’满足
上六个条件中的一个或两个。你画出
的△A’B’C’与△ABC一定全等吗？
两个直角三角形，有一个角相等，
它们全等吗？
探
究
1
有一条边相等的两个三
角形全等吗？
一边、一角相等的两个三
角形全等吗？
通过画图我们可以发现，满足上述六个
条件中的一个或两个，△ABC与△A’B’C’
不一定全等。满足三个条件呢？能保证
他们全等吗？我们来分情况讨论。
先任意画一个△ABC再画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，B’C’=BC，C’A’=CA。把
画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，
它们全等吗？
探究2
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
A’C’=AC，
B’C’=BC；
1、画线段B’C’=BC；
2、分别以B’、C’为圆心，线段AB，
AC为半径画弧，两弧交于点A’；
3、连接线段A’B’，A’C’；
C
A
A’
B
C’
B’
探究2反应了什么规律？
三边对应相等的 两个三角形全等
(可简写成SSS)
你能写出它的符号语言吗？
在△ABC与△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC=A’C’
∴ △ABC≌ △A’B’C’
C
A
A’
B
C’
B’
符号语言
我们曾经作过这样的实验，将三根木条钉成
一个三角形木架，这个三角形木架的形状、
大小就不变了。就是说三角形的形状大小
也就确定了，这里用到的就是上面的结论。
用上面的结论可以判断两个三角形全等，
判断两个三角形全等的过程，叫做证明
三角形全等。
例1 如图， △ABC是一个钢架，
AB=AC，AD是连接点A与BC中
点D的支架。求证△ABC≌ △ACD
C
A
B
D
分析：要证△ABC≌ △ACD，可以看
这两个三角形三边是否_______
它们相等吗？
相等
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
﹛
AB=AC，
在△ABD与△ACD中
BD=CD，
AD=AD，
∴ △ABD≌ △ACD(SSS）
(公共边)
(已证)
(已知)
你学会了吗？
从例1可以看出，证明是由题设
(已知)出发，经过一步步推理，
最后推出结论(求证)正确的过程。
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一
条直线上，AD=FB。要用“边边边 ”证明
△ABD≌ △FDE，除了已知中的AC=FE，
BC=DE以还应该有什么条件？怎样才能
得到这个条件？
A
B
C
D
E
F
工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下：如图，∠AOB是一个任意
角，在边OA、OB上分别取OM=ON，
移动角尺，使角尺两边相同的刻度分
别与M，N重合，过角尺顶点C的射线
OC便是∠AOB的平分线。为什么？
练
习
先任意画一个△ABC，再画一个
△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’= ∠A，
AC=A’C’，(即使有两边和它们的夹角
对应相等)，把画好的△A’B’C’ 剪下，
放到△ABC上，它们全等吗？
探究3
C
A
A’
B
C’
B’
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
A’C’=AC，
∠A’= ∠A ；
1、画∠DA’E= ∠A ；
2、在射线A’D上截取A’B’=AB，在
射线A’E上截取A’C’=AC；
3、连接线段B’C’；
探究3反应了什么规律？
两边和它们的夹角对应相等的 两
个三角形全等(可简写成SAS)
你能写出它的符号语言吗？
C
A
A’
B
C’
B’
符号语言
在△ABC与△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，AC=A’C’，∠A’= ∠A
∴ △ABC≌ △A’B’C’
例2 如图有一池塘，要测池塘两端
A、B的距离，可先在平地上取一个
可以直接到达A和B的点C，连接AC
并延长到D,使CA=CD；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量
出DE的长就是A、B的距离，为什么？
分析：如果能证明△ABC≌ △DEC，
就可以得到AB____DE
=
在△ABC与△DEC中，
CA=CD，CB=CE，
∠1= ∠2
△ABC≌ △DEC还差一个条件是：
_________________
证明：
﹛
CA=CD，
在△ABC与△DEF 中
∠1= ∠2 ，
CB=CE，
∴ △ABC≌ △DEF(SAS）
(已知)
(对顶角相等)
(已知)
你学到了什么？
从例2可以看出，因为全等三角形
的对应边相等，对应角相等，所以
证明分别属于两个三角形的线段
相等或者角相等的问题，常通过
证明这两个三角形全等来解决。
探究4
我们知道，两边和它们的夹角对应
相等的两个三角形全等。由“两边及
其中一边的对角对应相等”的条件能
判定两个三角形全等吗？为什么？
可以通过画图来回答，还可以通过实验来回答
把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合
在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端
点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成
的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来
动动手
练
习
1、如图，两车从路段AB的一端A出
发，分别向东，向西行进相同的距
离，到达C、D两地，此时C、D到B
的距离相等吗？为什么？
A
D
C
B
2、如图，点E、F在BC上，BE=CF，
AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D
A
D
C
B
F
E
探究5
先任意画一个△ABC，再画一个
△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’= ∠A，
∠B’= ∠B ，(即两角和它们的夹边
对应相等)，把画好的△A’B’C’ 剪下，
放到△ABC上，它们全等吗？
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
∠A’= ∠A ,
∠B’= ∠B ；
1、画A’B’=AB ；
2、在A’B’同旁画∠DA’B’=∠A ，
∠EB’A’= ∠B ，A’D，B’E交于点C’；
A
B
C
A’
B’
C’
E’
D’
两角和它们的夹边对应相等的 两
个三角形全等(可简写成ASA)
你能写出它的符号语言吗？
C
A
A’
B
C’
B’
在△ABC与△A’B’C’中，
∵ ∠A’= ∠A ，AB=A’B’， ∠B’= ∠B ，
∴ △ABC≌ △A’B’C’
探究6
在△ABC与△DEF中，∠A= ∠D，∠B= ∠E ，
BC=EF， △ABC与△DEF全等吗？能利用角
边角的条件证明你的结论吗？
C
A
D
B
F
E
两个角和其中一个角的对边对应
相等的 两个三角形全等
(可简写成AAS)
C
A
A’
B
C’
B’
在△ABC与△A’B’C’中，
∵ ∠A’= ∠A ，∠B’= ∠B ， BC=B’C’，
∴ △ABC≌ △A’B’C’
例3 如图，D在AB上，E在AC上，
AB=AC，∠B= ∠C，求证AD=AE
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
分析：如果能证明△ABE_____△ACD，
就可以得到AB____DE
≌
=
﹛
AB=AC，
在△ABE与△ACD 中
∠B= ∠C ，
∠A= ∠A，
∴ △ABE≌ △ACD(ASA）
(已知)
( )
(已知)
证明：
公共角
∴AD=AE( )
全等三角形对应边相等
探究7
三角对应相等 的两个三角形全等吗？
现在我们学了哪些判定全等的方法？
判定两个三角形全等的方法
1、SSS：三边对应相等
2、SAS 两边及夹角对应相等
3、ASA两角夹边对应相等
4、AAS 两角及一角的对边对应相等
1、如图，要测量河两岸相对两点A，B两
点的距离，可以在AB的垂线BF上取两点
C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线
DE，使A，C，E在一条直线上，这时
测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C
D
E
F
2、 如图，AB⊥BC， AD⊥DC ，
∠1= ∠2，求证AB=AD
1
2
A
B
C
D
分析：如果能证明
△ABC_____△ACD，
就可以得到AB____AD
≌
=
对于两个直角三角形，除了直角相等的
条件外，还要满足几个条件，这两个直角
三角形就全等了？
讨论
A
B
C
D
E
F
由三角形全等的条件判断，对于两个直角
三角形，满足一边一锐角对应相等，或两
直角边对应相等，这两个直角三角形
全等吗？如果满足斜边和一条直角边
对应相等，这两个直角三角形全等吗？
探究８
先任意画一个ＲＴ△ABC，使∠Ｃ＝９０°，再画一个ＲＴ△A’B’C’，使A’B’=AB，ＢＣ= Ｂ‘Ｃ’，把画好的△A’B’C’ 剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
画一个ＲＴ△A’B’C’，
使Ｂ‘Ｃ’=ＢＣ，
Ａ‘Ｂ’= ＡＢ；
1、画∠ＭＣ’Ｎ= ９０°；
2、在射线Ｃ‘Ｍ上取Ｂ’Ｃ‘＝ＢＣ
３、以Ｂ‘为圆心，ＡＢ为半径画弧，交射线Ｃ’Ｎ于点Ａ‘
４、连接Ａ‘Ｂ’
A
B
C
A’
B’
C’
Ｎ
Ｍ
斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等
(可简写成斜边、直角边或ＨＬ)
你能写出它的符号语言吗？
在ＲＴ△ABC与ＲＴ△A’B’C’中，
∠Ｃ＝∠Ｃ＝９０°
∵ AB=A’B’， BＣ= B’Ｃ‘，
∴ＲＴ△ABC≌ＲＴ△A’B’C’
符号语言
例４　 如图，AＣ⊥BC， ＢD⊥ＡD ，
ＡＣ= ＢＤ，求证BＣ=AD
A
B
C
Ｄ
﹛
AC=BD，
在RT△ABC与RT△BAD 中
AB= BA ，
∴ RT△ABC ≌ RT△BAD (HL)
(已知)
(公共边)
证明：∵ AＣ⊥BC，ＢD⊥ＡD
　∴ ∠C＝∠Ｄ＝９０°
∴BC=AD ( )
全等三角形对应边相等
1、如图，Ｃ是路段ＡＢ的中点，两人
从Ｃ同时出发，以相同的速度分别沿两
条直线行走，并同时到达Ｄ，Ｅ两地，
ＤＡ⊥ＡＢ，ＥＢ⊥ＡＢ，Ｄ，Ｅ与路
段ＡＢ的距离相等吗？为什么？
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｅ
２　 如图，AＢ＝ＣＤ， ＡＥ⊥ＢＣ，
ＤＦ⊥ＢＣ，ＣＥ= ＢＦ，求证AE=DF
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｅ
F
这节课你学到了什么？
１、怎样判定三角形全等？
２、怎样判定直角三角形全等？
３、证明线段、角相等常用什么方法