第十一章三角形
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第十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
探究1:
下列图形中哪些是三角形？
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( 5 )
三角形的定义：由 的
所组成的图形
叫三角形 。
不在同一直线上
三条线段
首尾顺次相接
想一想:什么叫三角形？
A
1.三角形的顶点：
点A、点B、点C
2.三角形的边：
线段AB
3、三角形的内角（简称角）：
∠A、∠B、∠C
B
C
线段BC
线段CA
三角形的表示：
A
B
C
表示为：
用三个顶点字母表示
或表示为:△BCA或△CAB

△ABC
读作：三角形ABC
△ABC的三边,有
时也用a、b、c来表示.
一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c
A
B
C
1、边的表示：
2、角的表示：
c
a
b
∠A、∠B、 ∠C。
可用一个大写字母、
三个大写字母、希腊字母、数字表示。
线段AB、线段BC、线段CA
图中的角应表示为：
思考：什么时候用三个大写字母表示？
学以致用:读出图中的各个三角形，并把它们的顶点、边和角表示出来
D
B
A
C
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形
2.以BD为边的三角形有哪些？
3.以点A为顶点的三角形有哪些？
答：有△ ABD 、△BCD
答：三个 分别是：
△ ABD 、△ABC、 △DBC
答：有△ ABD 、△ABC
活学活用：
探究2：
观察下列三角形的角，你有什么发现？
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
斜三角形
归纳
三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形按角分类
探究3：
观察下列三角形的边，你有什么发现？
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
归纳
三角形
不等边三角形
等腰三角形
底和腰不相等
的等腰三角形
等边三角形
三角形按边分类
巩固
判断下列说法是否正确：
探究4：
蚂蚁要从Ａ点去Ｂ点觅食，请你帮忙选择最佳的路径。
A
Ｂ
Ｃ
1.从A到B有几条路？
两条。
2.哪条路最近？为什么？
AB
AC
+
BC
>
两点之间线段最短。
BC
AB
+
>
AC
AC
AB
+
>
BC
能用简练的语言说一说这三边的关系吗？
小结：
三角形中，任意两边之和大于第三边。
这三个式子同时存在
问题：
A
Ｃ
Ｂ
动手试一试：如何填下列空？
小结：
三角形中，任意两边之差小于第三边。
BC
AB
AC
AC
AB
-
<
BC
AC
-
BC
AB
-
<
<
能用简练的语言说一说三边之间的关系吗？
（1）
（2）
（3）
这三个式子同时存在
归纳
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
A
B
C
c
a
b
如：AB+BC>CA
c+a>b
三角形三边关系定理：三角形任意两边之差小于第三边。
如：AB-BCc-ab - a < c < b + a
有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！
考考你！
答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长的和应大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。
做一做！
有三根木棒长分别为3cm、6cm、
2cm，它们能否围成三角形？为什么？
你有什么更好的办法吗？
用两条小边之和与大边比较
用最大边减中边之差与最小边比较
巩固
下列长度的三条线段能否组成三角
形？为什么？
(1) 3cm、4cm、8cm （ ）
(2) 11 、5、6 （ ）
(3) 6、10、5 （ ）
不能
不能
能
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1） 3，8，4 （ ）
（2） 6，5 ，2 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 2，8 ，5 （ ）
不能
能
能
不能
再练一练
4米
3米
5米
A
B
学校草坪弄不好就会走出一条小路来,
其实我们离文明很近
4
学以致用
你能不能运用今天所学的知识解释这一现象?
C
能力提升：
在△ABC中，若a =3，b=7，则第
三边c的取值范围是 。
既要考虑“两边之和大于第三边”，
又要考虑“两边之差小于第三边”
b- a < c < b + a
在△ABC中，若a =3，b=7，则其周
长l的取值范围是 。
4 < c < 10
14 < l< 20
例.用一条长委18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边长是多少？
(2)能围成有一边的长委4cm的等腰三角形吗？为什么？
课堂小结：
三角形
定义
表示方分类法
三边关
系定理
按边分类
按角分类
a - b < c < a + b
同学们再见
2.线段中点的定义：
3.角的平分线的定义：
1.垂线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
把一条线段分成两条相等的线段的点。
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
你还记得
“过一点画已知直线的垂线” 吗?
三角形的高
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
之间的线段
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。
如图, 线段AD是BC边上的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
锐角三角形的三条高
每个人画一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
A
B
C
D
E
F
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是 ;
BD
●
钝角三角形的三条高
钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
∵AD是△ ABC 的高
D
∴∠ BDA = ∠ C D A =90 °
小结:三角形的高
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形这边的高。
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的中线
在三角形中,连接一个
顶点与它对边中点的线段,
叫做这个 三角形这边的中线.
D
∵AD是△ ABC的中线
任意画一个三角形, 然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
●
●
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形中线的理解
E
F
O
三角形的角平分线
叫做三角形的角平分线。
A
B
C
D
∵AD是 △ ABC的角平分线
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
●
●
在三角形中，一个
内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
A
C
B
F
E
D
O
∵BE是△ABC的角平分线
∴____=_____= _____
∴∠ACB=2______=2______
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线
∠BCF

角平分线的理解：
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线
点击重点
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
①AD是⊿ABE的角平分线 ( )
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( )
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( )
④CH是⊿ACD边AD上的高 ( )
三角形的高、中线与角平分线都是线段
×
×
×
√
拓展练习
B
D
拓展练习
AF
CD
AC
∠2
∠ABC
∠4
拓展练习
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠AFC
拓展练习
1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )

A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一
D
拓展练习
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
D
今天我们学了什么呀？
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念
及它们的画法。
2. .三角形的高、中线、角平分线
几何表达及简单应用。
知识小结
知识归纳
三角形的稳定性
如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
观察下面的图片，有什么共同点？
观察上面这些图片，你发现了什么？

这说明三角形有它所独有的性质，是什么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性。
发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
会
（2）
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会
三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
从上面实验过程你能得出什么结论？与同学交流。
还有什么发现？
还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变。这是为什么呢？
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？
下列图形中哪些具有稳定性？
（4）
（5）
（6）
（3）
（1）
（2）
×
√
×
√
×
√
谢谢！
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
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11.2.1 三角形的内角
三角形两边的夹角叫做三角形的内角
三角形的内角
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
思考与探索
三角形的三个内角和是多少?
把三个角拼在一起试试看？
你有什么办法可以验证呢?
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
180°
实践操作
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
证法一
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D，
过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法二
F
2
1
E
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
过A作EF∥BC，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法三
C
B
E
A
三角形的内角和等于1800.
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法四
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
思路总结
(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（ 不是）
（ 不是）
巩固练习
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
则∠A = ∠ B= ∠ C= .
（3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .
102 °
80 °
60 °
40 °
60°
2
1
1
应用新知
A
B
C
在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得,
∠A +∠B+ ∠C=180°
即
∠A +∠B+ 90°=180°，
所以
∠A +∠B= 90°.
例题讲解1
也就是说，
直角三角形的两个锐角互余.
由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
A
B
C
已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180
（三角形内角和定理）
解得x＝36
∴∠C＝2×360＝720
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
在△BDC中，∵∠BDC＝900
(三角形高的定义）
∴∠DBC＝180
?
例题讲解2
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.
（1）∠DAC＝_____ ∠DAB＝______ ∠EBC＝_______ ∠CAB ＝ ______
A
(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?
50°
80°
40°
北
解：∵ AD∥BE

∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB
＝ 180° － 80° ＝100°
在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC
＝ 180°－30 °－60 °＝90°
∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE
30 °
＝100°﹣40°＝60°
例题讲解3
D
C
E
北
A
50°
∟
B
40 °
北
M
N
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50°
解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N
1
2
例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。
∴∠1=180 °-90°-50° =40°
∵ AD∥BE
∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90°
同理得∠2 =50°
∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2
=180 °-40°-50° =90°
例题讲解3
B
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
F
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE
∴ CF∥ BE
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
例题讲解3
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °
在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °
∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °
巩固练习
1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少?
2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
(A)带①去　　　　(B)带②去　　　　　(C)带③去　　　　(D)带①和②去
C
巩固练习
3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )
A、锐角三角形　B、直角三角形
C、钝角三角形　D、等腰三角形
4. 一个三角形至少有（ ）
A、一个锐角 B、两个锐角
C、一个钝角 D、一个直角
B
B
巩固练习
5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.
解:
∵∠A＝70°
∴∠ACB=180 °-∠A-∠B
=180°-70°-50°
=60°
∵DE//BC
∴∠B=∠ADE＝50°
∵ CD平分∠ACB
巩固练习
甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？
甲
乙
450
？
450
16米
解:由题意知
A
B
C
∴BC=AB=16
答:两楼的距离是16米.
拓展与思考1
2、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？
解:设∠A=x°,
那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得:
解得
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
所以△ＡＢＣ是直角三角形
拓展与思考2
小结
1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180°
2、由三角形内角和等于180°，可得出
(1)直角三角形两锐角互余；
(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；
(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
11.2.2 三角形的外角
D
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．
A
B
C
D
E
看一看：
算一算：
探究？
图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
115°
60°
65°
55°
125°
通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠ CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说．
想一想：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
结论：
求下列各图中∠1的度数。
∠1=
∠1=
∠1=
90º
85º
95º

∠ACD ∠A (<、>)；
∠ACD ∠B (<、>)
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
D
>
>
你选什么 ？
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列
∠1
∠2
∠3
＞
＞
三角形的外角和等于360°
议一议
∠2＋ ∠ABC=180°
∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
解：过A作AD平行于BC
∴ ∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
A
∴ ∠2＝ ∠BAD
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°
判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
练一练
学一学
例1:如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
问：（1）中为什么∠ADC＝∠B+∠BAD？
（2）中求∠C的度数还有其他方法吗？
40º
40º
⌒
练一练
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
A
D
E
C
F
B
1
2
3
360°
N
P
M
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
⌒
F
G
⌒
∠B+ ∠D= ∠EGF
∠EGF + ∠EFG + ∠E = 180°
所以
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
练一练
已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°， 20° ， 30° ，求∠1的度数
如图，试计算∠BOC的度数．
练一练
90º
30º
20º
A
B
C
O
D
⌒
110°
练一练
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，
求∠A与∠EBC的度数.

小结
1、三角形外角的两条性质
① 三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于任何一个与它
不相邻的内角。
2、三角形的外角和是360
华岩教育课程辅导中心（济源）
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再见
多边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
由这图形你抽象出什么几何图形？
五边形
六边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
中国第一奇村诸葛八卦村
由这图形你抽象出什么几何图形？
由这图形你抽象出什么几何图形？
八边形
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形。
四边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接而成的图形。
……
五边形
六边形
七边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次连接而成的图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……其中三角形是最简单的多边形。
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。
内角
对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
可表示为：五边形ABCDE或
五边形AEDCB
A
B
C
D
E
外角
1
探究2：
多边形的相关概念
顶点
边
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。下图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。下图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
请画出下列图形从某一顶点出发的所有对角线：
从同一顶点引出的对角线的条数：
1
2
3
n－3
分割出的三角形的个数：
2
3
4
n－2
0
1
n边形从一个顶点出发的对角线条数为： 条(n≥3)
n边形共有对角线 条(n≥3)
(n－3)
你能说出这两幅图形的异同点吗？
（1）
（2）
如图，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
四边形ABCD是凸四边形吗？为什么？
四边形ABCD不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。
正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
例如：
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
不一定,如菱形的边都相等,但内角不一定相等.
不一定,如矩形的内角都相等,但边未必都相等.
2、下列判断：（1）各边都相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）多边形一定具有稳定性；（4）如果画出多边形某一边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凸多边形；正确的个数（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
巩固练习：
1、下列不是凸多边形的是（ ）
A B C D
C
A
3、已知一个多边形有35条对角线，你能求出它的边数吗？
4、有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手。
（1）若参加会议的人数为15，则一共要握手多少次？
（2）若一共握手170次，则参加会议的人数是多少？
思考:
在正方形ABCD中，你能用四种不同的方法把正方形面积四等分吗？
小小设计师
请你利用多边形设计一幅美丽的图案吧,能写出一两句解说词吗?
这节课你学到了什么？
感悟与反思
(1) 什么是多边形.
(2)什么是对角线.
(3)在多边形中对角线的规律.
11.3.2多边形的
内角和
1、n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿对角线。
将n边形分成了________个三角形
2、n边形的对角线一共有＿＿＿＿__ 条。
（n-3）
（n-2）
温故知新
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少？

其它四边形的内角和是多少？
问题1：你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
（都是360°）
想一想
试一试
你会利用三角形的内角和计算四边形ABCD的内角和吗？请你与同学们交流你的证明思路.
连接对角线把四边形转化为三角形。
A
B
C
D
四边形ABCD的内角和
＝△ABC的内角和﹢△ACD的内角和
=180°+180°=360°
已知：四边形ABCD，试说明：∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D=360 °
分析:
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，
可以做_____对角线，它们将四边形分成_____个三角形，所以四边形的内角和为_____。
1
思考:
2
360°
A
B
C
D
E
F
同理：从五边形从一个顶点出发，可以做_____对角线，它们将四边形分成_____个三角形，所以四边形的内角和为_____。
2
3
同理：从六边形从一个顶点出发，可以做_____对角线，它们将四边形分成_____个三角形，所以四边形的内角和为_____。
3
4
180°×3
180°×4
探索多边形的内角和
2
2x180°
1x180°
3
3x180°
4
3
4x180°
n-3
n-2
(n-2)x180°
1
2
总结：n边形内角和公式
n边形内角和=(n－2) ·180°
1.求下列图形中x的值：
做一做
（1）十二边形的内角和是多少？
解：（12-2）×180°
=10 ×180°
=1800 °
答：十二边形的内角和为1800 °
练一练
(2)一个多边形的内角和为2700°，求它的边数。
解 ：设这是一个n边形，根据题意得：
（n-2）·180 °=2700 °
解得： n=17
答：它的边数为17.
例1:已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D=？
A
B
C
D
点评：四边形的一组对角互补，另一组对角也互补。
解:四边形的内角和为:
(4-2) ×180 =360 °
∴ ∠B+∠D= 360 °- (A+∠C)=180°
∠A+∠C=180°
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
6
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
5边形外角和
结论：五边形的外角和等于360°
-(5-2) × 180°
=360 °
6
=5个平角
-5边形内角和
=5×180°
探究在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
=
结论：
n边形的外角和等于360°
-(n-2) × 180°
=360 °
n个平角-n边形内角和
=n×180 °
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是多少？
多边形的外角和
3×180o-(3-2)×180o=360o
4×180o-(4-2)×180o=360o
5×180o-(5-2)×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
探索任意多边形的外角和
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练
练习1：正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。
5X=360°
X=72°
72°
108°
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
所以每一个内角度数为108 °
练习2：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。

解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
多边形外角和等于360º，
∴ (n-2)•180°=2× 360º。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6。
我的学习收获
1.n边形的内角和: (n-2)×180°

2.多边形的外角和: 360°

3.数学思想方法: 转化与化归

多边形 三角形
对角线