三角形
三角形
三角形有
关的线段
三角形内角和
三角形外角和
三角形知识结构图
三角形的边
高线
中线
角平分线
三角形
有关的角
内角与外角关系
三角形的分类
多边形与镶嵌
1. 三角形的三边关系:
(1) 三角形两边的和大于第三边
2. 判断三条已知线段a、b、c能否
组成三角形.
当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.
3. 确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.
(2) 三角形两边的差小于第三边
知识要点
连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
4. 三角形的主要线段
5. 三角形的三条高线(或高线所在直线)交于一点.
锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；
直角三角形三条高线交于直角顶点；
钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点.
6.三角形的三条中线交于三角形内部一点.
7. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.
8. 三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性。
9. 三角形内角和定理
三角形的内角和等于1800
直角三角形的两个锐角互余。
10. 三角形外角和定理
三角形的外角和等于3600
11.三角形的外角与内角的关系
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
12. 三角形的分类
锐角三角形
三角形
钝角三角形
(1) 按角分
直角三角形
(2) 按边分
腰和底不等的等腰三角形
三角形
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
n-3
n-2
3×1800
4×1800
(n-2)×1800
1
2
3
2
3
4
2×1800
3600
3600
3600
3600
13. n边形内角和、外角和、对角线
形状大小相同的任意三角形可镶嵌成一个平面
14.镶嵌
形状大小相同的任意四边形可镶嵌成一个平面
镶嵌的条件:拼接在同一个顶点处的各个多边形的内角之和等于360°
正方形
正三角形
正六边形
正三、四 、六边形可以镶嵌
14.镶嵌
60°×3+90°×2=360°
正三角形和正方形
14.镶嵌
正三角形和正六边形
60°×4 + 120°=360°
60°×2+120°×2=360°
14.镶嵌
1.在△ABC中，
（1）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= ；
（2）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 。
2.如图，_____是△ACD外角，∠ADB= 115°,∠CAD= 80°,则∠C = .
40°
60°
35°
∠ADB
知识运用
3、下列条件中能组成三角形的是（ ） A.5cm, 13cm, 7cm B.3cm, 5cm, 9cm C.14cm, 9cm, 6cm 　D.5cm, 6cm, 11cm
C
4、三角形的两边为7cm和5cm，则第三边
x的范围是 _____________ .
2cm＜x＜12cm
知识运用
5.如图，AD是BC边上高，
BE是 △ABD的角平分线，
∠1=30°，∠2=40°，
则∠C=___, ∠BED= .
65°
60°
解: 由三角形两边之和大于第三边,
两边之差小于第三边得:
8-3又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7、9。
6.已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，
要想拼成一个三角形，且第三条线段a的
长为奇数，问第三条线段应取多少长？
知识运用
7、等腰三角形一边的长是5 cm，另一边的长是8cm，求它的周长
解:当腰长为5cm时,它的周长为:
5+5+8=18(cm)
当腰长为8cm时,它的周长为:
8+8+5=21(cm)
∴这个三角形的周长为18cm或21cm
知识运用
8、五边形的五个内角度数之比为2︰3︰4︰5︰6，
求这个五边形的最大的内角和它的外角的度数.
解：设每一份为x°，则这五个角的度数分别为2x°，3x°，4x°，5x°，6x°.
2x+3x+4x+5x+6x=（5-2）180
x=27 °
6 ×27=162 ， 180-162=18
答：这个五边形的最大内角为162°，它的外角为18°.
知识运用
9、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和1680° ，你能否求得他漏掉的内角和多边形内角和的正确结果吗？
解：设他漏掉的内角为x°，多边形的边数为n，则有：
（n-2)×180=1680+x
所以

n为正整数，0< x < 180,
所以
解得x=120,
所以 n=12
多边形的内角和为（12-2）× 180°= 1800°.
知识运用
10、如图∠B=∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE=140°，求∠FED的度数
知识运用
∠B=36°,∠C=66°，
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D， AE是∠BAC的角平分线，
你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗？
知识运用
∠C-∠B=20°，
求∠DAE的度数？
12.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D， AE是∠BAC的角平分线， DF⊥AE于点F，∠B=38°,
∠C=74°，求∠ADF的度数？
知识运用
解∵AD是△ABC的高,∠C = 70°
∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20°
∵ ∠BAC =50°
∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60°
∵ AE 和BF是角平分线
∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°
∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°
13.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，
它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°
求∠DAC,∠AOB
知识运用
14.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,
BD是AC边上的高，求∠DBC
知识运用
解:∵∠C+∠ABC+∠A= 180°
∵∠C=∠ABC=2∠A
∴2∠A+2∠A+∠A= 180°
∠A=36°
∴∠C = 72°
∵BD是AC边上的高
∴ ∠CBD=180°- 90°-∠C=18°
15.如图, △ABC中, D是BC边上一点，∠1= ∠2,
∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC的度数
知识运用
16.如图, △ABC中，∠BAC=∠C=2∠B，AD是∠BAC的平分线,求∠ADC的度数
知识运用
17.如图, △ABC中, ∠A= ∠ABD,
∠C= ∠BDC= ∠ABC,求∠DBC的度数
知识运用
知识运用
如图△ABC中，D.E分别是
BC.AD的中点，且△ABC
的面积为 ,则阴影部
分面积______
知识运用
△ABC中，D是BC上的点，且BD:DC=2:1，
S△ACD=12，则S△ABC=______
19.若△ABC的内角满足2∠A- ∠B= 30°，
4∠A+∠C=300°，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.无法确定

解：由题意可得



解得A= 60° ，B= 60° ，C= 60°
则是等边三角形
C
知识运用
20.在△ABC中，∠C比∠A+∠B 还大30°， 则 这个三角形是 三角形
钝角
解：由题意可得

解得C= 105°
知识运用
21. 已知：P是△ABC内任意一点.
求证：∠BPC＞∠A
解:延长BP交AC于点D
∵∠BPC是△ PDC的外角
∴∠BPC>∠PDC
同理可得∠PDC>∠A
∵BD是AC边上的高
∴ ∠BPC>∠A
知识运用
如图，A、B、C在同一条直线上，B、D、E在同一条直线上，你能说明∠2＞∠1的道理吗?
知识运用
解:∵∠1=∠2 ∠3=∠4
∴∠ABC=2∠2 ∠ACB=2∠4
在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A+2(∠2+∠4)=180°
∵∠A= 100°
∴∠2+∠4=40°
∵∠2+∠4+x=180°
∴ x=140°
知识运用
22.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4， ∠A= 100°，求x的值
23.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。求证：∠BOC=90°+ ∠A
2
3
1
4
解:∵BO、CO是∠B、∠C的平分线
∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4
在△BOC中∠BOC+∠2+∠3=180°
∴∠2+∠3= 180°- ∠BOC
在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A+2(∠2+∠3)=180°
∴∠A+2(180°- ∠BOC )=180°

∠BOC=90°+ ∠A
知识运用
24.在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于一点P，若∠A=50° ，则∠BPC的度数是 __________。
知识运用
25.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。 求证：∠P=90°- ∠A
知识运用
3
4
1
2
E
F
解:∵BP、CP是外角平分线
∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4
∵∠EBC是△ABC的外角 △PBC中∠P+∠1+∠3=180°
∴ ∠EBC=∠A+∠ACB ∴∠1+∠3=180°-∠P
=∠A+(180°-∠3-∠4) ∴∠A+180°=2(180°-∠P)
∴ ∠EBC=∠1+∠2
2∠1=∠A+(180°-2∠3) ∴∠P=90°- ∠A
2∠1+2∠3=∠A+180°
26.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，
求证：∠A=2∠D
知识运用
解:∵BD、CD是角平分线
∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4
在△BDC中∠4=∠2+∠D
∴∠3= ∠2+∠D
在△ABC中∠ACE=∠A+∠ABC
∴2∠3=∠A+2∠2
∴2(∠2+∠D )= ∠A+2∠2
∴ ∠A=2∠D
1
2
3
4
27.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，
求∠P的度数
知识运用
解:∵AP、BP是角平分线
∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4
在△ABP中∠4=∠2+∠P
∴∠3= ∠2+∠P
在△AB0中∠OBD=∠O+∠OAB
∴2∠3=∠O+2∠2
∴2(∠2+∠P )= ∠O+2∠2
∴ ∠O=2∠P
∴ ∠P=45°
1
2
3
4
28.如图：CE是△ACB的外角平分线与BA的延长线交于点E，
∠B=35°,∠ECD=75°,
则∠CAE度数是_______
知识运用
解:∵CE是角平分线
∴ ∠1=∠2
在△ACE中∠BAC>∠1
在△BCE中∠2>∠B
∴∠BAC>∠B
求证：∠BAC＞∠B
65°
29.如图∠1=20°, ∠2=25°,∠B=55°,则∠ADC的度数为__________
知识运用
100°
30.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC
解:连接BD并延长到E
∵∠ADE=∠ABD+∠A
∠CDE=∠CBD+∠C
∵ ∠ADC=∠ABD+∠CBD
∠ABC=∠ABD+∠A
∴ ∠A +∠ABC+∠C=∠ADC
解:延长AD交BC于F
∵∠ADC=∠DFC+∠C
∠DFC=∠A+∠B
∴∠A +∠B+∠C=∠ADC
知识运用
1.三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,
且x>y>0,则该三角形有一个内角为 （　　）A、30O B、45O C、60O D、90O
2.把14cm长的细铁丝截成三段，围成不等边三角形，并且使三边长均为整数，那么（　）
A、只有一种截法 B、只有两种截法 C、有三种截法 D、有四种截法
3.等腰三角形腰长为a，底为X，则X取值范围（　）
A、0＜X＜2a B、0＜X＜a
C、0＜X＜a/2 D、0＜X≤2a
巩固提高一

4.正多边形每一个内角都是120o，多边形是（　）
A、正四边形 B、正五边形 　　　
C、正六边形 D、正七边形
5.一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（ ） A、13条 B、14条 C、15条 D、16条
6.下列说法中，错误的是（ 　） 　　A、一个三角形中至少有一个角不大于60O；　　B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；　　　D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；
巩固提高一

7.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（ ）三角形
A．直角 B．等腰 C．锐角 D．钝角
8.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A.5 　 B.6 　 C.7 　 D.8
9.一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（　　）
A.六边形 B.七边形 　C.八边形 D.九边形
10.下面各角能成为某多边形内角和的是（　）
A.430° B.4343° C.4320° D.4360°
巩固提高一
11．下面说法正确的是个数有（　　）
①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
巩固提高一
12.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是________。
13．如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的４倍，等于与它不相邻的一个内角的２倍，则此三角形各内角的度数是_________。
14.一个多边形的边数和所有对角线的条数相等，则这个多边形是______边形.
巩固提高一
巩固提高一

16.如图,在△ABC中,∠B=∠C,
∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,
则∠CDE的度数_______.
17.如图,已知D为△ABC边BC延长线
上一点,DF⊥AB于F交AC于E,
∠A=35°,∠D=42°,则∠ACD的
度数_____.
18.如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）．
（1）图①中草坪的面积为_____;
（2）图②中草坪的面积为_____;
（3）图③中草坪的面积为_____;
（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____．
巩固提高一
如图所示，△OAB和△OCD称为“对顶三角形”，其中∠A＋∠B=∠C＋∠D
利用这个结论，完成以下各题
专题：求多个分散角的和
知识运用
你能说出理由吗？
1、∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_______
180°
知识运用
2、∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_______
360°
知识运用
3.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
540°
知识运用
4、∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_______
360°
知识运用
5.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+ ∠G ＝____
540°
知识运用
6.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H ＝ .
360°
知识运用
7、∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
A
D
E
C
F
B
360°
N
P
M
知识运用
8、∠CAD+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
180°
知识运用
9、求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G度数。
540O
知识运用
10、求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数。
A
F
E
D
C
B
知识运用
11、求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G度数。
知识运用
专题：探究规律
1．填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形
11
2n+1
2.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n＝20)根时，需要的火柴棍数为__________根．
630
知识运用
知识运用
3．填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形
7
n+2
4.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆n根时．
知识运用
25
15
3n
5.如图，图(1)中互不重叠的三角形共有4个，图(2)中互不重叠的三角形共有7个，图(3)中互不重叠的三角形共有10个……则在第(n)个图中，互不重叠的三角形共有______个。
图(1) 图(2) 图(3)
知识运用
3n+1
知识运用
6.在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：问：（1）4根火柴能拾成三角形吗？
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
（1）4根火柴不能搭成三角形；

（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；

12根火柴能搭成三种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．
7.观察图和所给表格中的数据后回答：
当梯形的个数为n时，图形周长为（ ）
A.3n B.3n+1 C.3n+2 D.3n+3
知识运用
C
知识运用
8.阅读材料并填表：在△ABC中，有一点P1,当P1,A,B,C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形如图(1).当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
7
2005
知识运用
9.用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律镶嵌成若干个图案：
⑴第四个图案中有白色地板砖____________块；
⑵第n个图案中有白色地板砖_____________块.
18
4n+2
1.已知等腰三角形的两边长分别为10和6，
则三角形的周长为________
2.等腰三角形的两边和与差分别为16和8,
则此三角形的周长为______
3.以线段3、4、x-5为边组成三角形，
那么x的取值范围是_________
巩固提高二
22或26
28
65.两根木棒长分别为5和7，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，则第三根木棒的取值情况有___种
6.等腰三角形的周长为18厘米，若腰长是底边的2倍，则三边的长分别是 、 、______;
7.直角三角形两个锐角平分线的夹角是 .
8.△ABC中,∠B=∠C=2∠A,则∠B= ,∠A=___.
巩固提高二
4
7.2cm 7.2cm 3.6cm
9.△ABC中已知∠A:∠B:∠C =1:2:3,则是____三角形; 若∠A+∠B=∠C，则此三角形是_______三角形。
10.（1）直角三角形中，一个锐角是30°，则另一个锐角的外角是______。
（2）直角三角形的一个锐角是另一个锐角的3倍，这两个锐角分别是______。
（3）三角形的一个外角等于与相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则三角形的各角的度数是____________.
巩固提高二
11.在△ABC中，最大角A是最小角C的3倍，
且∠A 与∠B的差等于∠B与∠C 的差，
则∠A= ，∠B= ，∠C=_____;
12.△ABC中，已知3∠A=∠C，3∠B=2∠C，
则 △ABC是 三角形;
13.已知△ABC中,∠C=∠ABC =2∠A,
BD是AC边上的高，则∠DBC= 。
巩固提高二
14.如图，已知DE分别交△ABC的边AB、
AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B=67O，
∠ACB=740，∠AED=480，则∠BDF=____
巩固提高二
1、已知一个三角形的三边
长为3、8、x,则x 的取值范围是 。
2、已知一个三角形的三边
长3、a+2、8，则a的取值
范围是 。
53巩固提高三
3、等腰三角形一边的长是
另一边的长是8，则它的周
长是 。
18或21
19
5
3
4、一个三角形的两边长分别是 和 ,第三边的长为奇数,则第三边的长为_____ .
巩固提高三
6、同上题图，若
△ACD的面积为
，则△ABC
的面积为 .
5、如图，已知：AD是△ABC
的中线，△ABC的面积为 ,则△ABD的面积是 .
50cm2
25cm2
80cm2
40cm2
60cm2
120cm2
30cm2
60cm2
巩固提高三
7、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A= ，∠BCE= ，则∠EBF的度数是 ，
∠FBC的度
数是 .
25°
20°
40°
30°
50°
65°
25°
40°
20°
70°
40°
巩固提高三
1∶2∶3
2∶3∶4
①∠A=380，∠B=730 ， ∠C=
③∠B=400，∠A∶∠C=3∶4
∠C=
10、若三角形三个内角的度数
之比为 ，则这三个内角的度数分别是_______________.
1∶3∶6
180、540、1080
300、600、900
400、600、800
11、在△ABC中，根据下列条件，求∠C的度数.
690
②AB⊥BC，∠A=350 ∠C=
550
800
巩固提高三