8.1 二元一次方程组
“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!” ——法国数学家 笛卡儿[Descartes, 1596-1650 ]
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
解:设胜x场,则负(22-x)场,根据题意得方程
2x+(22-x) ×1=40
解得 x=18
　 22-18=4
答:这个队胜18场,只负4场.
这是＿元＿次方程．
一
一
解:设篮球队胜了　场，负了　场,得:
22
2x
y
40

篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
等量关系有哪些？
解:设篮球队胜了　场，负了　场,得:
x＋y=22
2x＋y=40
2x
y
40
胜的场数＋负的场数＝总场数
胜场积分＋负场积分＝总积分
议一议
思考一:上述方程有什么特点?
思考二:它与你学过的一元一次方程比较
有什么区别?
思考三:你能给它取名吗?
思考四:你能给它下一个定义吗?
x＋y=22
2x＋y=40
二元一次方程
1.有两个未知数( )
二元
一次
3.含未知数的式子是( )
整式
x+y=22
2x+y=40
探讨交流
2.含未知数的项的次数都为( )
含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 一次的方程叫做二元一次方程。
学习新知
注意:方程两边都是整式。
(3)
是
不是
不是
不是
不是
不是
1.判断下列方程是否为二元一次方程：
比比看
(7) 4x+ =0
(8) 2x=1-3y
不是
是
(1)已知:5x3m+7-2y2n-1=4是二元一次方程,则m= ，n = 。
(2)若mxy+9x+3yn-1=7是关于x,y的二元一次方程,则m = ，n = 。
考考你
-2
1
0
2
拓展思维
把下列各对数代入二元一次方程 3x+4y=19。
哪些能使方程两边的值相等？
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的解。
学习新知
已知方程２ｘ＋ｙ＝１０
（1）填写下表：

（2）根据表格，写出方程的一个解。
合作学习
14
10
4
5.5
5
4
1
8
二元一次方程的解和一元一次方程的解有什么区别？
一个
无数个
一个未知数的值
一对未知数的值
议一议
结论：二元一次方程有无数个解。
(1)二元一次方程2x-y=3中，当x=2时，y= ;
1
6
1
拓展思维
变式1
变式2

请写出二元一次方程2x+y=8的正整数解。
学习新知
把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程组
1.有两个未知数.( )
二元
一次
方程组
探讨交流
2.含未知数的项次数都为1.( )
3.两个一次方程组成.( )
下列方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（2）、（5）
解:设篮球队胜了　场，负了　场,得:
满足方程
且符合实际意义的x，y的值有哪些？
0
22
1
21
2
22
3
2
4
5
6
7
8
9
21
12
20
10
11
13
13
14
15
16
17
18
19
4
3
1
0
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
19
20
探究

解得
解决问题
解:设篮球队胜了x场，负了y场,得:
答：这个队应在全部比赛中胜18场，负4场。
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
学习新知
二元一次方程组
的解是
下面四组数值中， 　是二元一次方程 7x-3y=2的解， 是二元一次方程 2x+y=8的解， 是二元一次方程组 的解。
A
C
D
A、B
B、Ｄ
Ｂ
B
练一练
16
C
6、求二元一次方程2x+3y=15的所有自然数解。
昨天，我们8个人去北陵公园玩，买门票花了34元。
每张成人票5元，每张儿童票3元。他们到底去了几个成人、几个儿童呢？
列出方程组来看看!
应用
解:设去了x个成人，y个儿童，得：
探讨交流
x+y=8
5x+3y=34
列出方程组来看看!
应用
解:设一听果奶x元，一听可乐y元，得：
探讨交流
x+0.5=y
x+4y=20-3
日常生活中，我们经常用设二元的方法来研究和解决问题，你能解答下面的问题吗？
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何？
——《孙子算经》
探究
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意得：
解得
答：鸡有23只，兔有12只。
探讨交流
“鸡兔同笼”问题
想一想
上面两个问题中都可以用算术方法、列一元一次方程、列二元一次方程组来解答，你认为哪种更容易理解？
请你说给大家听听
这节课你有那些收获?
还有哪些困惑?
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含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 一次的方程叫做二元一次方程。
把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
知识梳理

二元一次方程有无数个解。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
知识梳理