平行线及其判定
2.平行线的判定
【知识目标】
1．在几何情境中，能判断两条直线平行，掌握有关的符号表示。
2．会用三角尺、量角器、方格纸画平行线，积累操作活动的经验。
3．在操作活动中，探索并了解平行线的有关性质。
4．立足现实情境，充分利用生活经验去理解体会平行线的含义。
5．理解两条直线平行的条件，会用“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”的方法判定两条直线平行。
6．经历探索用尺规作图画一条直线的平行线，用“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”的方法判断两条直线平行。
【学习目标】
1.通过阅读法理解两条直线平行的定义和条件，掌握用“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”的方法判定两条直线平行。
2.通过作图法掌握平行线的直接作法以及过一点作已知直线的平行线等作法，理解在作图过程中用到的判定方法。
【要点突破】
解析：两条线段或射线不相交并不能说明它们所在的直线也不相交．不在同一平面内，存在既不平行也不相交的直线．
答案：A
例1.下列说法正确的是(　　)。
A．在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种
B．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行
C．不相交的两条直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条射线互相平行
例2.读下列语句，用直尺和三角尺画出图形。
（1）点P是直线AB 外的一点，直线CD经过点P，且CD与AB平行；
（2）直线AB与CD相交于点O，P是AB、CD外的一点，直线EF经过点P，且EF∥AB，与直线CD相交于点E．
解析：进行文字语言和图形语言的互化是学习几何的一项基本功。如何进行呢？可采取边读边画，相互对照的方法．
答案：分别如图（1）（2）所示。
（1）
（2）
例3.如图，已知P是直线AB外一点，经过点P画一条直线，使它与已知直线AB平行。
解析：根据画平行线的三个步骤即可。
答案：画法如图：
（1）把三角板的一边靠紧直线AB，再用直尺（或另一块三角板）靠紧三角板的另一边；
（2）沿直尺推动三角板,使原来和直线AB重合的一边经过点P；
（3）过三角板原来与直线AB重合的这条边画直线CD。
CD就是所要画的经过点P，且与已知直线AB平行的直线。
例4.如图，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，试说明DC∥AB．
解析：借助条件可知∠1，∠2，∠CAB之间存在相等的关系，而∠2与∠CAB又存在内错角相等的关系．
答案：∵ AC平分∠DAB（已知），
∴ ∠1＝∠CAB（角平分线的定义）．
又 ∠1＝∠2（已知)，
∴ ∠CAB＝∠2（等量代换）．
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
例5.如图，直线AB、BC、CD、DA 相交于点A、B、C、D，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°．求证：
（1）AB∥CD；
（2）AD∥BC．
解析：（１）要证明AB∥CD，我们必须找出相关的同位角或内错角或同旁内角，我们可以寻找∠4和∠5（注意：这里的∠4，∠5不是随便找的，要跟已知条件有点联系），我们只要能证明∠4＋∠5＝180°就可以了。
（2）欲证AD∥BC，我们可以证明∠1＝∠4，由于∠1＝∠2，∠2＝∠4，所以这题就完成了证明。
答案：（１）∵∠2＝∠4，∠3＝∠5（对顶角相等），∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠4＋∠5＝180°（等量代换）。
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行。
（2）∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠4（对顶角相等），
∴∠1＝∠4（等量代换）。
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）。
【知识归纳】
1．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
2．同一平面内两条直线只有两种位置关系：平行或者相交。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来判断：（1）有且只有一个公共点，则两直线相交；（2）无公共点，则两直线平行；（3）有两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）。
3．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
4．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
5．平行线的画法是几何画图的基本技能之一，方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上）；二“靠”（用直尺紧靠在三角板的另一边）；三“移”（沿直尺移动三角板，直到落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）；四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）。
6．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。
7．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
8．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
【对点巩固】
1.在同一平面内三条直线交点有多少个？
甲：同一平面三直线相交交点的个数为0，因为a∥b∥c，如图（1）所示；
乙：同一平面内三条直线交点只有１个，因为a，b，c交于同一点O，如图（2）所示．
以上说法谁对谁错？为什么？
三条直线在同一平面的位置关系有四种情况:有１个交点,２个交点,
３个交点和０个交点。
甲、乙说法都不对，各自少了三种情况。a∥b，c与a，b相交，如图（1）；a，b，c两两相交，如图（2）。所以三条直线互不重合，交点有0个或1个或2个或3个，共四种情况。
2.如图，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∠1＋∠2＝90°，能判断AB∥CD吗？并说明理由。
∠1和∠2的2倍角分别是∠ABC和∠DCB，它们是一对同旁内角且它们的和是180°。
AB∥CD．理由如下：
∵ BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴ ∠ABC＝2∠1，∠DCB＝,2∠2．
又 ∠1＋∠2＝90°，
∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°。
∴ AB∥CD（同旁内角互补,两直线平行）。

4.如图，能判定AE∥B的条件有哪些（至少写三个）？并说明理由。
平行线AE、BF被直线BD所截时，有∠6，∠B互为同位角，∠7，∠B互为内错角，∠BAE、∠B互为同旁内角；平行线AE、BF被直线AC 所截时，有∠1，∠5互为内错角，∠ACF、∠5互为同旁内角；平行线AE、BF被直线CE所截时，有∠3，∠E互为内错角，∠BCE、∠E互为同旁内角。
∠1＝∠5，内错角相等，两直线平行。
∠E＝∠3，内错角相等，两直线平行。
∠6＝∠B，同位角相等，两直线平行。
∠7＝∠B，内错角相等，两直线平行。
∠ACF＋∠5＝180°，同旁内角互补，两直线平行。
∠BCE＋∠E＝180°，同旁内角互补，两直线平行。
3.一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（ ）。
A．先右转50°，后右转40° 　　
B．先右转50°，后左转40°
C．先右转50°，后左转130° 　　
D．先右转50°，后左转50°
汽车的方向不变，即汽车拐弯前与两次拐弯后的方向所在的直线互相平行。先右转后左转的两个角是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，选项D正确。
助你成功
5.如图，一条街道有两个拐角，分别为∠ABD与∠BDE，已知∠BDE＝150°。你用什么办法可以知道街道AB与街道DE是否平行？
有了平行线的判定方法，我们便可以将这一实际问题转化为几何问题来解决．将街道ABDE看成直线AB、DE被BD所截，其中∠ABD和∠BDE是一对内错角。可以测量出∠ABD的度数，如果∠ABD＝150°，那么根据“内错角相等，两直线平行”知道AB∥DE；反之，如果∠ABD≠150°，那么AB不平行于DE。