5.1 相交线
(5.1.1 相交线)
直线AB、CD相交于点O
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点。
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片。如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题。
请你画出任意两条相交直线,用量角器量一量4个角的度数，看看这四个角有什么关系?
问题:两条相交直线.形成的小于平角的
角有几个?
任意画两条相交直线,在形成的四个角(如图)中,两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系?
讨论:
∠3
∠1
∠2
∠4
∠1和∠2
4
1
4
3
4
3
∠1和∠3
2
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
有关概念：
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。
练习1：
∠BOD
∠DOE
∠AOC和∠BOD
1、如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于一点O,∠AOC的对顶角是 ，∠COF
的对顶角是 ，∠COB的邻补角是
2、三条线相交于一点时共有几对对顶角？几对邻补角？
对顶角：2×3=6
邻补角：4×3=12
1
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
)
1
练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
（
对顶角的性质:
对顶角相等.
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
为什么?
已知：直线AB与CD相交于O
点(如图),
求证:∠1=∠3、 ∠2=∠4
证明：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°、 ∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
∠2＝180°－∠1
＝180°－ 40°
解：由邻补角的定义，可得
＝140°
由对顶角相等，可得
若∠1＋∠３=５０° ，求各角的度数。
若∠１= m°，求各角的度数。
例题讲解
例1、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠ 4的度数。
例2、如图,若∠1:∠2=2:7 ，求各角的度数。
解:设∠1=2x°,则∠2=7x °
根据邻补角的定义,得
2x+7x=180
x=20
则∠1=40°, ∠2=140°
根据对顶角相等,得
∠3=40°, ∠4=140°
解答题
三条直线 a、b、c 相交于O点，∠1=40°，∠2=30°，求∠3的度数
解：∵∠4 =∠2=30°（对顶角相等 ）
∴
∠3=180 °－∠4－∠1
=180°－30°－ 40°
=110°(补角定义)
看谁做得棒！
已知：直线AB、CD相交于O点，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，求∠BOD和∠BOC的度数。
解：∵OA平分∠EOC
∠EOC=70°（已知）
∴∠AOC=35°（角平分线定义）
∴∠BOD=∠AOC=35°（对顶角相等）
　　∴∠BOC=180°-∠AOC
=108°-35°=145°（邻补角定义）
达标测试
一、判断题
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ ）
2、两条直线相交，有两组对顶角。 （ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角。 （ ）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A、∠AOC和∠BOE是对顶角；
B、∠COE和∠AOD是对顶角；
C、∠BOC和∠AOD是对顶角；
D、∠AOE和∠DOE是对顶角。
2、如右图中直线AB、CD交于O，
OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
那么∠AOE=（ ）度
（A）80；（B）100；（C）130（D）150。
A
B
C
D
O
E
×
√
√
C
C
1、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，
而补角则可以有 个。
一
两
无数
三、填空题
2、右图中∠AOC的对顶角是 ,
邻补角是 .
∠DOB
∠AOD和∠COB
3、若∠1与∠2是对顶角，∠1=160，则∠2=______0；
若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4 =______0
4、若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= 0
5、如图1，∠2与∠3互为邻补角，∠1=∠2，则∠1与∠3的关系为 。
16
180
180
互补
归纳小结
对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点;
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点;
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，
对顶角只有两对
邻补角有四对
①有无公共边
5.1.2 垂线
入水姿势
特殊情况
复习：
B
A
C
D
O
1
2
3
4
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
观察与思考
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
一、垂直的定义
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
图1
图4
图3
图2
b
a
1）图形：
O
α
2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O
3）符号：a⊥b或b⊥a,

若要强调垂足，

则记为：a⊥b, 垂足为O
2.垂直的表示：
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
②性质：∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
3.垂直的书写形式：
练习1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）

（A）有一个角为90° （B）有两个角相等
（C） 有三个角相等 （D）有四个角相等
（E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补（G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
A C D F G
练一练
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系
是 .
切记：要证垂直必先想到直角（90°）
联想数学
练习2：
OE⊥AB
A
C
E
B
D
O
1
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
(
解:
∵ AB⊥OE （已知）
∵ ∠BOD= ∠1=55°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
（对顶角相等）
1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？
想一想 做一做
2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？
想一想 做一做
过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？
问题：
怎么样画垂线？
垂线的画法
问题：
这样画l的垂线可以画几条？
1放、
2靠、
3画线、
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线。
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.垂线的画法：
l
A
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
1.垂线的画法：
l
A
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
B
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
请同学们画一下
1.垂线的画法：
结论:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条,而且只能作一条.
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条?
注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质（1）
①过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）.

C
练一练
练习3.
E
E
E
注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.
②、
练一练
练习5、 点O是直线AB上的一点， OC是射线，OE平分∠AOC， OF平分∠BOC，试确定OE与OF的位置关系．并说明理由．
练一练
1、垂线的定义
2、垂线的画法
3、垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移；四、画
小结：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。