第四章 几何图形初步
二、直线 射线 线段
三、角的比较与运算
四、余角与补角
一、立体图形与平面图形
一、几何图形
1、平面图形
正方形
棱形
圆形
椭圆
长方形
等腰三角形
梯形
六边形
直角三角形
常见的立体图形
柱体
锥体
球体
圆柱
棱柱
圆锥
棱锥
2.立体图形的分类
3.立体图形的三视图
同一个立体图形从不同的方向看它会得到不同的平面图形。一般包括:
从正面看
(正视图)
从左面看
(左视图)
从上面看
(俯视图)
4.立体图形的展开图
一些简单的立体图形的展开图、侧面展开图
5.点、线、面、体
点动成线,线动成面,面动成体(几何体)。
线
直线
曲线
面
平的面
曲的面
几何体
平的面: 正方体、长方体、棱柱、棱锥
曲的面: 球体
平的面+曲的面: 圆柱、圆锥
二、直线、 射线、 线段
1.直线、射线、线段的区别和联系

(1)射线、线段都是直线的一部分,它们之间又有紧密的
联系;在直线上取一点,可以将该直线分成两条射线,取
两点可以得到一条线段和四条射线;把射线反向延长或
者把线段两方延长就可以得到直线。

(2) 列表比较
有关概念
点、线段、射线、直线
*线和线相交的地方是点(point)。
*点通常表示一个物体的位置。例如，在交通图上用点来表示城市的位置。
*直线上两个点和它们之间的部分叫做线段(line segment)，这两个点叫做线段的端点。
在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象。
*把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线（ray）。
*把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线
（straight line）。
(2)线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点(middle point)。

2.线段的大小和比较

(1)线段的长短比较
度量法
叠合法
AB=BC=
AC
AC=2AB=2BC
例如:点B是线段AC的中点
. . .
A
B
C
则有:
(3)线段的三等分点
把一条线段分成三条相等线段的两个点，叫做这条线段的三等分点。
. . . .
A B C D
AB=BC=CD=
AD
AD=3AB=3BC=3CD
(4)画一条线段等于已知线段
注意耶
用尺规作图法
(5)两点的距离与线段的区别
两点的距离是指连接两点间的线段的长度,是一个数量;
而线段本身是图形.
(6)线段的和、差
a.线段的和
A B C
. . .
AC=AB+BC
b.线段的差
M N P
. . .
MN=MP-NP
NP=MP-MN
三、角的度量
1.角的描述式定义
角(angle)是由两条有公共端点的射线组成的图形。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。如图：∠AOB，∠α，∠1
2.角的旋转定义
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。如图：∠ABC
射线旋转时经过的平面部分是角的内部，其余部分是角的外部。
射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角(straight angle)。
例如：
射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角，如图∠COA是平角。
射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角(perigon)。
例如：
射线OA绕点O旋转，当终止位置OC回到起始位置OA时，所成的角叫做周角。如图：
3.角的三种表示方法
A
.
O
.
B
.
1
4.角的符号
用“
”
表示
一定要分清
小于号是“
”
5.角的分类
角
锐角:
直角:
钝角:
平角:
周角:
大于0度而小于90度的角
6.平角与直线 、 周角与射线
等于90度的角
大于90度而小于180度的角
等于180度的角
等于360度的角
(1)平角的两边构成一条直线;直线上任取一点作为角的顶
点便可以得到一个平角。
(2)将射线绕着其端点旋转360度便可以得到一个周角。
7.角的表示方法
(1)弧度制
(2)密位制
(3)角度制
-------- 以度、分、秒为单位的角的度量制叫角度制。
1周角=360° 1平角=180°
1°= 60′ 1′=60″
1′=(
) °
1″
1″=(
) ′
8.角的计算
(1)加法
常用的一种
48°39′25″+ 67°31′43″
(2)减法
90°-78°19′24″
(3)乘法
解:原式=(48°+ 67°)+(39′+ 31′)+(25″+43″)
= 115°70′68″
=115°71′8″
=116°11′8″
解:原式=89°60′ -78°19′24″
= 89°59′60″ -78°19′24″
=(89° -78°)+(59′- 19′)+(60″ - 24″)
=11°+40′+36″
=11°40′36″
21°17′16″×5
(4)除法
172°52′÷3(精确到秒)

解:原式= 21° ×5+ 17′×5+16″×5
= 105°+85′ +80″
= 105°+86′ + 20″
=106°+26′ + 20″
=106°26′ 20″
解:原式=172°÷3+52′÷3
=57°+1′ ÷3+52′÷3
= 57°+(1′ +52′) ÷3
= 57°+ 53′÷3
= 57°+ 17′+2′÷3
= 57°+ 17′+ 120″÷3
= 57°+ 17′+ 40″
=57° 17′ 40″
9.角的换算

例(!):用度、分、秒表示42.34°
解: 42.34°=42°+0.34°
= 42°+ 0.34×60′
= 42°+ 20.4′
= 42°+ 20′+0.4′
= 42°+ 20′+0.4×60″
= 42°+ 20′+24″
= 42°20′24″
例(2):用度表示56°25′12″
解: 56°25′12″= 56°+ 25′+ 12 ×(
) ′
=56°+25′+0.2′
= 56°+25.2′
= 56°+25.2×(
) °
=56°+0.42°
= 56.42°
10.
学海拾贝
钟表上时针、分针、秒针的转速
-------钟表被等分成12大格(每一大格其圆心角为30°);每一大格又被等分成5小格(每一小格其圆心角为6°)。
(1)时针: 一小时转30°,即一分
钟转0.5°。
(2)分针:一小时转360° ,即一分钟转6°。
(3)秒针:一分钟转360° ,即一秒钟转6°,一小时转21600°。
11.用尺规作图法画一个角等于已知角
尺规作图法:只借助直尺(无刻度)和圆规作图的方法
例:作一个角等于∠AOB(如右图)
A
O
B
.
.
.
四、角的比较与运算

1.角的比较
(1) 角的大小与角的度数的大小是一致的
(2) 角的大小比较
与线段的长短比较方法一样,角的大小比较也有两种方法:
度量法和叠合法。
2.角的和与差
(1)角的和
A
.
O .
.
B
C
.
∠AOC+∠COB=
∠AOB
(2)角的差
M
O
N
P
.
.
.
.
∠MON-∠MOP=
∠PON
∠MON-∠PON=
∠MOP
即:两个角的和或差,其结果仍然是一个角。
(3)应用
利用一副三角板可以画小于平角的角( 11 )个
,分别是:
15°、30°、45°、 60°、 75°、90°、105°、 120°、
135°、 150°、165°。
3.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(angular bisector)。
4.余角和补角
(1)概念
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(complementary angle)。如∠3=35°,∠4=55°,那么∠3和∠4互为余角。
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(supplementary angle)。如下图∠1+∠2=180°，则∠1和∠2互为补角
(2)性质
同角或等角的余角相等 ;
同角或等角的补角相等。
(3)表达式
若已知一个角为∠
,则它的余角为:
90°- ∠
它的补角为:
180°- ∠
5.方位角
四面八方：一般地我们规定，面向地图时“上北下南，

左西右东”；而“正东”和“正北”的角平分线方向记为“东北”

方向；把“正东”和“正南”的角平分线方向记为“东南”方向；

同理分别规定出“西北” 、“西南”方向。
(1)方位角的表示
----------通常先写北或南,再写偏东还是偏西
。例如:“北偏东
35°”;“南偏西60°”等。
(2)方位角的应用
经常用于航空、航海、测绘中,领航员常用地图和罗盘进行方位角的测定。
你会做了吗
在下图中,射线OA、射线OB、射线OC、射线OD分别表示什么方向?
北
O
南
西
东
A
B
C
D
60°
60°
50°
30°
射线OA表示:
射线OB表示:
射线OC表示:
射线OD表示:
北偏东30°
北偏西60°
南偏东40°
南偏西60°