3.4 实际问题与一元一次方程复习
1、列方程解应用题的主要步骤： 　　⑴认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； 　　⑵用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式； 　　⑶利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；　　⑷求出所列方程的解； 　　⑸检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。
一、知识梳理
2、设未知数的常见方法： 　　⑴直接设未知数：题目中问什么设什么，直接设未知数的关键是把已知条件和问题结合起来，能建立相等关系，即可列出方程； 　　⑵间接设未知数：当直接设未知数很难找到已知量和未知量的相等关系时，考虑间接设未知数，根据题目中的条件选择与所要求的量有关的某个量为未知数，以便找到相等关系求出所设的量，再求出题目中的问题量.
一、知识梳理
3、分析应用题中等量关系的方法： 　　⑴译式法：将题目中的数量及各数量之间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在关系找出相等关系； 　　⑵线示法：用线段表示题目中的数量关系，然后根据线段的长度关系找出相等关系.
⑶列表法：将已知条件和所求的未知量反映在表格中，从表格中找出相等关系.
⑷图示法：通过画图形，直观形象的表示题目中量之间的数量关系，从而找到相等关系.
一、知识梳理
列方程解应用题常见的题型有：
（1）和、差、倍、分问题；
（2）等积变形问题；
（3）劳力调配问题；
（4）比例分配问题；
（5）数字问题；
（6）工程问题；
（7）配套问题；
（8）利润问题。
二、典型例题
1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
二、典型例题
设某数为x，则:
①比某数增加3倍的数为 ；
②增加到某数的3倍 ;
③比某数增加百分之3% ;
④是某数的3% .
4x
3x
(1+3%)x
3%x
例1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
二、典型例题
分析：相等关系是：今年捐款=去年捐款×2+1000　　
解：设去年为灾区捐款x元， 　　由题意得，2x+1000=25000 　　　　　　　　　 2x=24000 　　　　　　　　 ∴ x=12000 　　答：去年该单位为灾区捐款12000元。
例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩余的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
分析：等量关系为：
油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。
二、典型例题
解：设油箱里原有汽油x公斤， 　　由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% 　　去分母整理得，9x+20=5x+6x 　　　　　　　　　∴ 2x=20 　　　　　　　　　 ∴ x=10 　　答：油箱里原有汽油10公斤。
二、典型例题
2、等积变形问题： 　　“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。
二、典型例题
例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。
二、典型例题
解：设可足够锻造x根机轴， 　　由题意得，　　
解这个方程得x= =  　答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
二、典型例题
3、劳力调配问题： 　　这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出。
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
二、典型例题
例4、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的 ，应从乙队调多少人到甲队？
分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。等量关系为：乙队调出后人数=甲队调入后人数。
二、典型例题
解：设应从乙队调x人到甲队， 　　由题意得，183-x= (285+x) 　　解这个方程，285+x=549-3x 　　 　　　　　　　4x=264 　　　　　　　　 ∴ x=66 　　答：应从乙队调66人到甲队。
二、典型例题
例5、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？
分析：此问题中只有调出，没有调入。等量关系为：甲队调出后人数=2×乙队调出后人数。
二、典型例题
解：设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出(116-x)人， 　　由题意得，188-x=2[138-(116-x)] 　　解这个方程 188-x=2(138-116+x) 　　　　　　　188-x=44+2x 　　　　　　　　 3x=144 　　　　　　　 ∴ x=48　　 116-x=116-48=68
答：应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。
二、典型例题
例6、李明今年8岁，父亲是32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的3倍。
分析：此问题中只有调入，没有调出。等量关系为：几年后父亲年龄=3×李明几年后的年龄。
二、典型例题
解：设 x年后父亲的年龄为李明的3倍， 　　由题意得，32+x=3(8+x) 　　解这个方程：32+x=24+3x 　　　　　　　　　2x=8 　　　　　　　　∴ x=4 　　答：4年后父亲的年龄为李明的3倍。
二、典型例题
4、比例分配问题： 　　这类问题的一般思路为：设其中一份为x ,利用已知的比，写出相应的代数式。 　　常用等量关系：各部分之和=总量。
二、典型例题
例7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
分析：应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。等量关系为：（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。
二、典型例题
解：设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产 ×3x件（即 x件）， 　　由题意得，4x+ x-12=2×3x 　　解这个方程， =12 　　∴ x=24 　　∴ 4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件）， x= ×24=60（件） 　　答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。
二、典型例题
5、数字问题： 　　要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
二、典型例题
例8、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数的大6，求这个两位数。
分析：等量关系为：个位数字+十位数字-6= ×这个两位数。
二、典型例题
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+5， 　　则这个两位数为：10x+x+5 　　由题意得，x+5+x-6= (10x+x+5) 　　解这个方程得：14x-7=11x+5 　　　　　　　　　　 3x=12 　　 　　　　　　　∴ x=4　　　　　　　　 ∴ x+5=9 　　这个两位数为49。 　　答：这个两位数为49。
二、典型例题
6、工程问题： 　　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间 　　经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
二、典型例题
例9、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析：设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
二、典型例题
解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1， 　　由题意得， 　　解这个方程， 　　　　　　　　12+15+5x=60　　　　　　　　 　　 5x=33 　　　　　　　　∴ x= = 　　答：乙还需 天才能完成全部工程。
二、典型例题
例10、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单位开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
分析：等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
二、典型例题
解：设打开丙管后x小时可注满水池， 　　由题意得，
　　解这个方程， 　　 　 　21x+42-8x=72　　　　 13x=30 　　 ∴ x= 　　答：打开丙管后 小时可注满水池
二、典型例题
7、行程问题： 　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。 　　（2）基本类型有　　　　 1）相遇问题；　　　　 2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
二、典型例题
例11：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
二、典型例题
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
二、典型例题
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为： 　　

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。 　　解：设快车开出x小时后两车相遇， 　　由题意得，140x+90(x+1)=480 　　解这个方程，230x=390 　　　　　　　　∴ x= 　　答：快车开出 小时两车相遇。
二、典型例题
二、典型例题
（3）分析：
等量关系为：快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。 　　解：设x小时后两车相距600公里， 　　由题意得，(140-90)x+480=600 　　　　　　　　　　　　 50x=120　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　∴ x=2.4 　　答：2.4小时后两车相距600公里。
二、典型例题
（4）分析：追及问题，画图表示为： 　　

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 　　解：设x小时后快车追上慢车。 　　由题意得，140x=90x+480 　　解这个方程，50x=480 　　 　　　　　∴ x=9.6 　　答：9.6小时后快车追上慢车。
二、典型例题
（5）分析：追及问题，相等关系与（4）类似。　 　
解：设快车开出x小时后追上慢车。 　　由题意得，140x=90(x+1)+480 　　　　　　　 50x=570 　　　　　　　∴ x=11.4 　　答：快车开出11.4小时后追上慢车。
二、典型例题
例12：甲、乙二人同时从A地去往相距51千米的B地，甲骑车，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍还多1千米/时，甲到达B地后停留 小时，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好6个小时，求二人速度各是多少？
二、典型例题
分析：本题属于相遇问题，用图表示（甲用实线，乙用虚线表示）。注意：甲在B地还停留 小时。A、B两地相距51千米。 　　等量关系为：甲走路程+乙走路程=51×2。
二、典型例题
解：设乙速为x千米/小时，则甲速为(3x+1)千米/小时， 　　由题意得，6x+(3x+1)(6-1)=51×2 　　解这个方程，6x+(3x+1)×=102 　　　　　　　　　　12x+27x+9=204 　　　　　　　　　　　　39x=195 　　　　　　　　　　　　 ∴ x=5
3x+1=15+1=16
　　答：甲速为16千米/时，乙速为5千米/时。
二、典型例题
例13：某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米时，水流速度为2.5千米/时。A、C两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头之间的航程。
二、典型例题
分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
二、典型例题
解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 　　由题意得， 　　解这个方程， 　　　　　　　　 3x=90 　　　　　　　　∴ x=30 　　答：A、B两码头之间的航路为30千米。
二、典型例题
例14：环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。
二、典型例题
分析：这是环形问题，本题类似于追及问题，距离差为环城一周20千米。相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米。
二、典型例题
8、配套问题： 　　[解题指导]：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
二、典型例题
例15：某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知1个大齿轮和三个小齿轮配为一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？
分析：这个问题的等量关系为：小齿轮个数=3倍大齿轮个数
二、典型例题
解：设应安排x个工人加工大齿轮，则有(85-x)个工人加工小齿轮， 　　由题意得，(85-x)×10=3×8x 　　解这个方程，850-10x=24x 　　　　　　　　　　34x=850 　　　 　　　　　　∴ x=25 　　　　　　　　85-x=85-25=60 　　答：应安排25个工人加工大齿轮，其余60人加工小齿轮，才能使生产的产品刚好成套。
二、典型例题
二、典型例题
例16：银行定期壹年存款的年利率为2.5%，某人存入一年后本息922.5元，问存入银行的本金是多少元？
分析：这里的相等关系为： 　本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数
二、典型例题
解：设存入银行的本金是x元， 　　由题意得，922.5=x+x×2.5%×1 　　解这个方程，1.025x=922.5 　　　　　　　　　∴ x=900（元） 　　答：存入银行的本金是900元。
二、典型例题
例17：某商品的进价为1600元，原售价为2200元因库存积压需降价出售，若每件商品仍想获得10%的利润需几折出售。
分析：等量关系为：原价×折扣=进价×（1+10%）
二、典型例题
解：设需x折出售， 　　由题意得，2200× =1600(1+10%) 　　　　　　　　　 220x=1600×1.10 　　　 　　　　　　　 x=8 　　答：需8折出售。
二、典型例题
例18：已知甲、乙两种商品的原单价和为100元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单价各是多少？
分析：甲原单价×（1-10%）+乙原单价×（1+5%）=100×（1+2%）。
二、典型例题
解：设甲商品原单价为x 元，则乙商品原单价为(100-x)元。由题意得，
(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100×(1+2%) 　　解这个方程，0.9x+1.05(100-x)=102 　　　　　　90x+10500-105x=10200 　　　　　　　　15x=300 　　　　　　　　 ∴ x=20 　　 　　　　　 100-x=80 　　答：甲商品原单价20元，乙商品原单价为80元。
二、典型例题
注意：虽然我们分了9种类型，对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这9类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。