奥数练习
1．解方程
．

2．已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图所示），其中AF＝2，BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．



3．已知a、b、c均为正数，试求下面函数的极小值：

．

4．设a、b为整数，且方程
的两个不同的正根都小于1，求a的最小值．

参考答案
1．
，
．令
，考虑函数
，当
时，
，即当
，亦即当5≤x≤10时，
，故5≤x≤10是原方程的解．
2．设矩形PNDM的边DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2≤x≤4）．易知CN＝4－x，EM＝4－y，且有
，即
，故
，
，2≤x≤4．S＝f（x）的图像开口向下，对称轴为x＝5．故当x≤5时，函数值随x的增大而增大．所以对满足2≤x≤4的S来说，当x＝4时有最大值
．
3．作AB＝c，AE＝a，BD＝b，且使AE⊥AB，BD⊥AB（如图所示）．若在AB上取一点M，使x＝AM，c－x＝BM，则有
．极值问题转化为在AB上求一点M，使EM＋DM最短．此时
，故
．


4．设
，由于方程f（x）＝0的两根都是正数，由韦达定理可知a＞0，从而抛物线f（x）开口向上，且与x轴的两个交点必须在x＝0与x＝1之间，为此应满足下面的不等式组：


由此解出
，为求最小的正整数a，我们从a＝1开始试算
a＝1时，－2＜b＜－2，无解
a＝2时，
，无解
a＝3时，
，无解
a＝4时，
，无解
a＝5时，
，此时b＝－5
此时可得方程
，解得
适合条件，所以a的最小值为5．