《实际问题与二次函数》同步练习

1.用长为8米的铝合金条做成如图所示形状的矩形窗框，是窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）
A.
m2 B.
m2
C.
m2 D. 4 m2
2.在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2. 44米，问能否射中球门？

3.已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.
求二次函数的图象的解析式；
设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

4.已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点.
求这条抛物线的解析式；
如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m值和点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值.

答案：1、C 2、能射中球门 3、(1) y=-
(x+2)(x-3) (2) 5
4、(1) y=-
(x-2)(x+3) (2)m=2 E(-2,2)
实际问题与二次函数》同步练习
课堂学习检测
1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．



2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．



3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．


(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取
，
)

综合、运用、诊断
4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．


(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?

6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：


(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?

拓展、探究、思考
8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
1．y＝－x2＋3x(0＜x＜3)图略．
2．5小时．
3．(1)
(2)17米．
4．(1)设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为
y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．
当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．
当x2＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；
当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．
故AB长为5米．
(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48．


，

由抛物线y＝－3(x－4)2＋48知，在对称轴x＜4的左侧，y随x的增大而增大，当x＞4时，y随x的增大而减小．
∴当
时，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值为
此时，
BC＝10m，即围成长为10米，宽为
米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为

5．(1)y＝－3x2＋252x－4860；
(2)当x＝42时，最大利润为432元．
6．解：(1)由题意得
y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720．
(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，
∴当x＝8时，y有最大值，为30976．
即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．
7．解：(1)设s与t的函数关系式为x＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为
(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得


解得


(2)把s＝30代入

解得t1＝10，t2＝－6(舍去)．
即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．
(3)把t＝7代入

得7月末的累积利润为s7＝10．5(万元)．
把t＝8代入

得8月末的累积利润为s8＝16(万元)．
∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)．
即第8个月公司获利润5.5万元．
8．(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；
(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．