一元二次方程的根的判别式
一、教学目的
1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．
2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程根的判别式的应用．
难点：一元二次方程根的判别式的推导．
三、教学过程
复习提问
1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？
2．用公式法求出下列方程的解：
(1)3x2＋x－10＝0；
(2)x2－8x＋16＝0；
(3)2x2－6x＋5＝0．(由学生解答)
引入新课
通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．
接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)
新课
先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：
对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为


∵a≠0，∴4a2＞0．
由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．
(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．
因此，方程有
这样两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．
因此，方程有
这样两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程的左边
不可能是一个负数．因此，方程没有实根．
通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“Δ”来表示．
综上所述，一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根．反过来也成立．
注：“Δ”读作“delta”．
例 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；
(2)16y2＋9＝24y；
(3)5(x2＋1)－7x＝0．
分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“Δ”，确定它的符号情况即可．
解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程移项，得16y2－24y＋9＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝576－576＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)原方程可变形为5x2－7x＋5＝0．
∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝49－100＜0，
∴原方程没有实数根．
小结
应用判别式解题应注意以下几点：
1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．
2．不必解方程，只须先求出Δ，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来．
3．其逆命题也是成立的．
练习：略．
作业：略．
四、教学注意问题
1．注意讲好提出问题和新课引入．
2．注意强调例题的解题规范．