最大面积是多少
教学目标
(一)教学知识点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)能力训练要求
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．
教学方法
教师指导学生自学法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2．7A)
第二张：(记作§2．7B)
第三张：(记作§2．7C)
第四张：(记作§2．7D)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
Ⅱ．新课讲解
一、例题讲解
投影片：(§2．7A)
如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．


(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
[师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得
即
．所以AD＝BC＝
(40－x)．
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·
(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
下面请大家讨论写出步骤．
[生](1)∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴
．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴
．∴BC＝
(40－x)．
∴AD＝BC＝
(40－x)＝30－
x．
(2)y＝AB·AD＝x(30－
x)＝－
x2＋30x
＝－
(x2－40x＋400－400)
＝－
(x2－40x＋400)＋300
＝－
(x－20)2＋300．
当x＝20时，y最大＝300．
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．
[师]很好．刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？
[生]不很难．
[师]下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流．
[生]要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．
解：∵DC∥AB，
∴△FDC∽△FAE．
∴
．
∵AD＝x，FD＝30－x．
∴
．
∴DC＝
(30－x)．
∴AB＝DC＝
(30－x)．
y＝AB·AD＝x·
(30－x)
＝－
x2＋40x
＝－
(x2－30x＋225－225)
＝－
(x－15)2＋300．
当x＝15时，y最大＝300．
即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．
二、做一做
投影片：(§2．7B)
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？


[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？
[生]可以．
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋
x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝
．面积S＝
πx2＋2xy＝
πx2＋2x·
＝
πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝
．
设窗户的面积是S(m2)，则
S＝
πx2＋2xy
＝
πx2＋2x·

＝
πx2＋

＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－
x)
＝－3.5(x－
)2＋
．
∴当x＝
≈1.07时，
S最大＝
≈4.02．
即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．
[师]大家做得非常棒．
三、议一议
[师]我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．
[生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．
[师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：
投影片：(§2．7C)
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．
Ⅲ．课堂练习
投影片：(§2．7D)
1．一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？


解：设AB长为x m，则BC长为(116－2x)m，长方形面积为S m2，根据题意得
S＝x(116－2x)＝－2x2＋116x＝－2(x2－58x＋292－292)＝－2(x－29)2＋1682．
当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．
即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2．
Ⅳ．课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
Ⅴ．课后作业
习题2．8
Ⅵ．活动与探究
已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于
．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于
，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：


板书设计
§2．7 最大面积是多少
一、1．例题讲解(投影片§2．7A)
2．做一做(投影片§2．7B)
3．议一议(投影片§2．7C)
二、课堂练习(投影片§2．7D)
三、课时小结
四、课后作业