人教版初中数学九年级上册 第二十二章《一元二次方程》
22.2 降次——解一元二次方程 第1课时 教学设计

教学目标：
1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.
教学重点：
运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
教学难点：
通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学时间：3课时
第1课时
教学过程
温故互查
1.填空
（1）x2+6x+9=（x+____）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
x2+px+_____=（x+______）2．
若x2=a,那么x=_______。
0的平方根是______；正数a的平方根是_______。
新知探究
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
分析：（1）本题的等量关系是什么？
设正方体的棱长为x dm ,则一个正方体的表面积为______，根据一桶漆可刷的面积，可列方程为__________________，整理化简后得________________。你知道它的解是多少吗？
解：设正方体的棱长为x dm ,则一个正方体的表面积为______，根据一桶漆可刷的面积，可得
10×6x2=1500,
化简得x2=25
根据平方根的意义，可得
x=
,即
x1=5，x2=-5(不合题意，舍去)
所以，盒子的棱长为5dm.
2.如果x换元为2x-1，即（2x-1）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2x-1变为上面的x，那么2x-1=
, 即

方程的两根为

上面的解法中，都是将一元二次方程“降次”，次数由2降到1，转化为两个一元一次方程，从而解决问题的。
3.课件出示例1 解方程：x2+6x+9=2。
分析：很清楚，x2+6x+9是一个完全平方式，那么原方程就转化为
（x+3）2=2.
解：由已知，得：（x+3）2=2
直接开平方，得：
，
即

方程的两根为

归纳：如果一元二次方程能化成x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)的形式，那么

4.课件出示例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，则
10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
巩固练习
1. 若9x2－25=0，则x1=___,x2=__.
2. 若(x－2)2=0，则x1=____,x2=___
3. 若x2－2x=0，则x1=___,x2=___
4.填写适当的数使下式成立.
①x2+6x+______=(x+3)2
②x2－______x+1=(x－1)2
③x2+4x+______=(x+______)2
5.方程3x2－1=0的解是（ ）
A.x=±
B.x=±3 C.x=±
D.x=±

6.方程5x2+75=0的根是（ ）
A.5 B.－5 C.±5 D.无实根
解方程：
⑴
⑵
⑶


课本P36练习
课堂小结
1.把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程
2.如果一元二次方程能化成x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)的形式，那么

板书设计
22.2.1配方法
x2=p，则

（mx+n）2=p(p≥0)，则

人教版初中数学九年级上册 第二十二章《一元二次方程》
22.2 降次——解一元二次方程 第2课时 教学设计
教学目标：
1.理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；
2.并能熟练应用它解决一些具体问题．
教学重点：
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；
教学难点：
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学时间：3课时
第2课时
教学过程
温故互查
1.解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老师点评：我
们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的
完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转
化问题
，那么上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±
或mx+n=±
（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
填上合适的数字，是等号左侧的多项式可以写成完全平方式。
(1)x2-4x______=( )2 (2)x2-3x______=( )2
(3)x2+5x_______=( )2 (4)x2+7x_______=( )2
新知探究
问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16 m2,场地的长和宽应各是多少？
设场地宽x米，则长（x+6）米，根据矩形面积为16m2,可列方程为
x(x+6)=16
即x2+6x-16=0
思考：怎样解方程x2+6x-16=0呢？
如何将它化成左边是完全平方式的方程呢？ 有二次项平方项(x2)，乘积2倍项（+6x）,还缺的是平方项（32），常数项“多余”，所以先把常数项移项，再给左边加上32，根据等式性质，右边也要加32。即
移项，得 x2+6x=16
等式两边同时加上9（即一次项系数一半的平方
），得
x2+6x+9=16+9
学生完成剩余部分的计算，集体订正。
（x+3）2=25
降次（开平方），得x+3=
5
即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程，得x1=2,x2=-8
可以验证2和-8都是方程x2+6x-16=0的根。
由于场地宽不能为负值，所以场地宽为2米，长为8米。
讨论：以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
像上面通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
例1解下列方程：
（1）x2+2x-35=0； (2）x2-8x+1=0.
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
解：（1）移项，得 x2-2x=35
配方，得 x2-2x+12=35+1
（x-1）2=36
由此可得 x-1=±6
即 x-1=6，x-1=-6
x1=7，x2=-5
可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．
（2）移项，得 x2-8x=-1
配方，得 x2-8x+42=-1+42
（x-4）2=15
由此可得 x-4=±

即 x-4=
，x-4=-

x1=4+
，x2=4-

巩固练习
1．用适当的数填空：
（1）x2－3x+________=（x－_______）2
（2）a（x2+x+_______）=a（x+_______）2
2．将一元二次方程x2－2x－4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
3．如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个根是－1，那么k=________，另一根为______．
4．将二次三项式x2－3x－5进行配方，其结果为_________．
5．已知4x2－ax+1可变为（2x－b）2的形式，则ab=_______．
6.用配方法将二次三项式a2－4a+5变形，结果是（ ）
A．（a－2）2+1 B．（a+2）2－1 C．（a+2）2+1 D．（a－2）2－1
7.用配方法解一元二次方程
，配方后得到的方程是（　）
A.
　 　B.
　 　C.
　 　D.

8.将一元二次方程
化成
的形式，则ｂ等于（　）
A.－4　　 　B.4　　 　C.－14　　 　D.14
已知方程
可以配方成
的形式，那么

可以配方成下列的（ ）
A．
B．

C．
D．

课堂小结
当一元二次方程二次项系数为1时，首先移项，是等号左侧只有二次项和一次项，然后配方（两边同时加上一次项系数一半的平方），利用配方法降次来解出方程。
板书设计
22.2.1配方法
问题2
例题
人教版初中数学九年级上册 第二十二章《一元二次方程》
22.2 降次——解一元二次方程 第3课时 教学设计
教学目标：
1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；
2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；
3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
教学重点：
配方法的解题步骤．
教学难点：
把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方
教学时间：3课时
第3课时
教学过程
温故互查
解方程：
x2-2x+9=0 （2）x2-2x-6=5
x2=9 （4）x2+8x+6=78
什么是配方法解一元二次方程？
新知探究
问题3：一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，她在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：
h=15t-5t2
小球何时能达到10m高？
根据题意，得15t-5t2=10，化为一般式为-5t2+15t-10=0
思考：如何解这个方程呢？（学生讨论）
方程两边同时除以-5，得t2-3t+2=0
移项，得t2-3t=-2
配方（两边同时加上
），得t2-3t+
=-2+



降次，得

即
，



2.课件出示例2解下列方程：
（1）2x2+1=3x； （2）3x2-6x+4=0 ；
（1+x）2+2（1+x）-4=0.
解：（1）移项，得 2x2-3x=-1
二次项系数化为1，得

配方




由此可得



学生独立完成，遇到问题共同解决。
（3）解法一：去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=±

即x1=
-2，x2=-
-2
解法二：令1+x=y,原方程可变形为y2+2y-4=0,
移项，得y2+2y=4
配方y2+2y+1=4+1
（y+1）2=5
y+1=±

y1=
-1，y2=-
-1
当x+1=
-1时，x1=
-2
当x+1=-
-1时，x2=-
-2
巩固练习
课本P39练习1,2
用配方法解下列方程：








(
)
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
课堂小结
配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
板书设计
22.2.1配方法
问题3
例2