一元二次方程的解法——公式法

一、学习目标
（一）知识目标
理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．
（二）能力目标
通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．
（三）情感目标
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
二、学习重点、难点
1．重点：运用公式法解一元二次方程．
2．难点：正确确定系数和准确运用公式．
三、学习准备：
本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．
四、学习过程：
1．复习提问
（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？
2．合作探究
（1）引导学生继续解ax2+bx+c=0（a≠0）；
二次项系数化为1得x2+
x+
=0；
移项x2+
x=-
；
配方x2+2·x·
+（
）2=（
）2-

即（x+
）2=
．
（2）师生互动
互动1
师：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中，要求b2-4ac≥0，那么b2-4ac<0时会怎样呢？
生：当b2-4ac<0时，
没有意义，此时一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数解．
明确 b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b2-4ac<0时，此方程无解，也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a≠0，所以4a2>0，当b2-4ac≥0时，直接开平方得x+
=±
，所以x=-
=
即x=
．教师概括出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=
（b2-4ac≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．
互动2
例1：解下列方程：
①2x2+x-6=0； ②x2+4x=2；
③5x2-4x-12=0； ④4x2+4x+10=1-8x．
明确运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．
互动3
请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．
明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x-a）2=b（b≥0）时，可用直接开平方法；（2）当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．
五、当堂检测：
1、选择题：
（1）用公式法解方程4x2+12x+3，得到 （ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=

（2）关于x的方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个正实数根 B．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值
C．有两个负实数根 D．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值
（3）关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-
B．k≥-
C．k>-
且k≠2 D．k≥-
且k≠2
2、解答题：
用公式法解下列方程
⑴6x2-13x-5=0； ⑵x（x+8）=16；
（3）x2=2（x+1）； （4）4y2-（
+8）y+
=0．
六、学习小结
（1）引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．
七、反馈矫正
用公式法解下列方程．
①2x2-5x+2=0； ②
x2-2
x+
=0；
③2mnx2+2m2x=n2x+mn（mn≠0）．