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22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
教 学 目 标
知识技能:
①会根据实际问题列二次函数,并能根据实际情况确定自变量的取值范围;
②使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。
方法过程:
让学生通过阅读、合作讨论、动手画草图、分析、对比,能找出实际问题中的数量关系,揭示两个变量的关系,培养学生结合图形与其性质解决问题的能力
解决问题:
通过两个变量之间的关系,进一步体会二次函数的应用,体验数形结合思想。
情感态度:
通过具体实例,让学生经历应用二次函数解决实际问题得全过程,体验数学来源于生活,服务于生活的辩证观点。
重点:培养学生解决实际问题,综合解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法 。
难点:对实际问题中变量和变量之间的相互依赖关系的确定。
教学过程:
基础扫描
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 , 顶点坐标是 (3 ,5) 。当x= 3 时,y的最小 值是 5 。
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 , 顶点坐标是 (-4 ,-1) 。当x= -4 时,函数有最 大 值是 -1 。
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 , 2 时,函数有最 小 值, 顶点坐标是(2 ,1) .当x= 是 1 。
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品,你会选买哪一家呢?如果你是商场经理, 如何定价才能使商场获得最大利润呢?
自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元,售价是每件 60元, 每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调整价格 ,每涨 价1元,每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润,该 商品应定价为多少元?
分析:没调价之前商场一周的利润为 6000 元; 设销售单价上调了x元,那么每件商品的利润 (20+x) 元,每周的销售量可表示为 可表示为 (300-10x) 件,一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x) 元,要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
合作交流
问题2.已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市 场调查反映:如调整价格 ,每涨价一元, 每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时,商场能获得最大利润?
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元,每星期可卖 出300件。市场调查反映:如调整价格, 每降价一元,每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大?
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元,每星期可卖 出300件。市场调查反映:如调整价格 , 每涨价一元,每星期要少卖出10件; 每降价一元,每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大?
解:设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10[(x-5)2-25 ]+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时,y的最大值是6250. 定价:60+5=65(元)
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x 的取值范围 =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20(x2-5x-300) =-20(x-2.5)2+6125 (0≤x≤20) 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况,定价为65元时可获得 最大利润为6250元.
解决这类题目的一般步骤
(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的 实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
当堂检测
1. 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解:设售价提高x元时,半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时,y最大 =4500 答:当售价提高5元时,半月内可获最大利润4500元
2.某商店经营一种小商品,进价为2.5元,据市场 调查,销售单价是13.5元时平均每天销售量是500 件,而销售单价每降低1元,平均每天就可以多售 出100件. (1)假设每件商品降低x元,商店每天销售这种 小商品的利润是y元,请你写出y与x之间的函数关 系式,并注明x的取值范围; (2)每件小商品销售价是多少元时,商店每天销 售这种小商品的利润最大?最大利润是多少? (注:销售利润=销售收入-购进成本)
解析:(1)降低x元后,所销售的件数是(500+100x), y=-100x2+600x+5500 (0<x≤11 )
(2)y=-100x2+600x+5500 (0<x≤11 )
配方得y=-100(x-3)2+6400 当x=3时,y的最大值是6400元. 即降价为3元时,利润最大. 所以销售单价为10.5元时,最大利润为6400元.
答:销售单价为10.5元时,最大利润为6400元.
布置作业: