21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
教学目标
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.21世纪教育网版权所有
教学重难点
重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想.
难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.www.21-cn-jy.com

教学过程
一、教师导学
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+　　　　=(x-　　　　)2; 
(2)9x2+12x+　　　　=(3x+　　　　)2; 
(3)x2+px+　　　　=(x+　　　　)2. 
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?


老师点评:
问题1:根据完全平方公式可得:(1)16　4;(2)4　2;(3)(
)2　
.
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:
x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2

即x1=2
,x2=-2

可以验证,2
和-2
都是方程
x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2
秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、合作与探究
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2
,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2

即2t1+1=2
,2t2+1=-2

方程的两根为t1=
-
,t2=-
-

【例1】解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=±1
即x1+2=1,x2+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x1=1.2,1+x2=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材P6　练习.
四、能力展示
某公司一月份营业额为2万元,第一季度总营业额为6.62万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?21教育名师原创作品
五、总结提升
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±
,达到降次转化之目的.
六、布置作业
教材P16　习题21.2　1、2.
第2课时　配方法
教学内容
通过变形运用开平方法降次解方程.
教学目标
理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
教学重难点
重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤”.
难点:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
教学过程
一、教师导学
(学生活动)请同学们解下列方程
(1)3x2-1=5　(2)4(x-1)2-9=0
(3)4x2+16x+16=9
老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±
或mx+n=±
(p≥0).
如:4x2+16x+16=(2x+4)2
二、合作与探究
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?


解:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500　整理,得:x2-36x+70=0
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后一个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程
【例1】解方程:x2-36x+70=0.
老师点评:x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,
x-18=±
,x1-18=
或x2-18=-
,x1≈34,x2≈2.
可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2.
【例2】解下列关于x的方程
2x2-4x-1=0
解:x2-2x-
=0　x2-2x=

x2-2x+12=
+1　(x-1)2=

x-1=±
即x1-1=
,x2-1=-

x1=1+
,x2=1-


可以验证:x1=1+
,x2=1-
都是方程的根.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
三、巩固练习
教材P9　练习1　2.(1)、(2).
四、能力展示
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.


五、总结提升
本节课应掌握:
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
六、布置作业
教材P17　习题21.2　3.

21.2.2　公式法
第1课时　一元二次方程根的判别式
教学内容
一元二次方程根的判别式,即Δ=b2-4ac.
教学目标
1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;
2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.
教学重难点
1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围;
2.运用判别式判别一元二次方程根的情况.
教学过程
一、教师导学
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,我们知道Δ=b2-4ac.当Δ>0时,方程有两个不等的实数根;Δ=0时,方程有两个相等的实数根;Δ<0时,方程没有实数根,此结论反之也成立.
如果说方程有实数根,切记此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
二、合作探究
了解了上述判别规律,我们来进行以下探究:
探究一:不解一元二次方程,判断根的情况
【例1】不解方程,判断x2-2x+3=0的根的情况.
解:Δ=b2-4ac=4-4×1×3=-8<0,
∴原方程无实数根.
说明:解此类题时,一般先要把方程化为一般形式求出Δ,然后对Δ进行计算,使Δ的符号明朗化,进而说明Δ的符号情况,得出结论.21*cnjy*com
探究二:根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围
【例2】已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
解:a=k,b=2k-1,c=k+2,
Δ=b2-4ac=(2k-1)2-4k(k+2)=-12k+1
∵方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,即-12k+1>0,k<
.
∴k<
且k≠0.
说明:当二次项系数也含有待定的字母时,要注意二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取值范围.
探究三:证明字母系数方程有无实数根
【例3】求证方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
证明:Δ=[-(m+2)]2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4
无论m取何值都有(m-2)2+4>0,即Δ>0.
所以无论m取何值,方程有两个不相等的实数根.
说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出Δ,如果不能直接判断Δ情况,就利有配方法把Δ配成含有完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断Δ的情况,从而证明出方程根的情况.【出处：21教育名师】
三、巩固练习
1.不解方程,判别方程
x2-4x+8=0的根的情况;
2.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为1,求m的值及该方程的根;　　21*cnjy*com
3.已知m为非负整数,且关于x的方程(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.
　　四、总结提升
本节课应掌握:
一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础.
五、布置作业
教材P17习题21.2　4、12、13
第2课时　公式法
教学内容
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程.
教学目标
1.知识与技能:理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
2.过程与方法:复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.21教育网
教学重难点
重点:求根公式的推导和公式法的应用.
难点:一元二次方程求根公式法的推导.
教学过程
一、教师导学
(学生活动)用配方法解下列方程
(1)6x2-7x+1=0　(2)4x2-3x=52
老师点评:(1)移项,得:6x2-7x=-1;
二次项系数化为1,得:x2-
x=-
;
配方,得:x2-
x+(
)2=-
+(
)2;
(x-
)2=
;
x-
=±
;
x1=
+
=
=1;
x2=-
+
=
=
.
(2)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
二、合作与探究
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.21cnjy.com
问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,
试推导它的两个根
　　x1=
,x2=

分析:因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解:移项,得:ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+
x=-
;
配方,得:x2+
x+(
)2=-
+(
)2;
即(x+
)2=
;
∵b2-4ac≥0且4a2>0;
∴
≥0;
直接开平方,得:x+
=±
;
即x=
;
∴x1=
,x2=

由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
【例】用公式法解下列方程.
(x-2)(3x-5)=1
分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
解:将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0;
a=3,b=-11,c=9;
b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0;
∴x=
=
;
∴x1=
,x2=

三、巩固练习
教材P12　练习1.(1)、(3)、(5)
四、能力展示
某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元一次方程,m是否存在?若存在,请求出.
你能解决这个问题吗?
五、总结提升
本节课应掌握:
(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程;
(4)初步了解一元二次方程根的情况.
六、布置作业
教材P17　习题21.2　5.
21.2.3　因式分解法
教学目标
1.知识与技能:学会用因式分解的方法解某些一元二次方程,因式分解的具体方法有:提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等.2·1·c·n·j·y
2.过程与方法:通过对因式分解法的学习,进一步掌握一元二次方程的解法,更深理解“降次”的基本思想.
教学重难点
熟练用因式分解的方法解有关的一元二次方程
教学过程
一、教师导学
问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据此规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)?21·cn·jy·com
二、合作与探究
上面的问题可设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0.除配方法或公式法以外,今天我们选择一种更简单的方法解此方程.【来源：21·世纪·教育·网】
分析:方程左边因式分解,得x(10-4.9x)=0.
于是得x=0或10-4.9x=0,
x1=0,x2=
≈2.04.
即0s时物体被抛出,2.04s时落回地面.
可以发现,上述解法中,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
【例】解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0;
(2)5x2-2x-
=x2-2x+

解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0;
∴x-2=0或x+1=0;∴x1=2,x2=-1
(2)移项,合并同类项,得4x2-1=0;
因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0;
∴2x+1=0或2x-1=0;
∴x1=-
,x2=

三、巩固练习
教材P14　练习1、2.
四、能力展示
1.因式分解法解下列方程:
(1)x2+2x=-1;(2)(y-2)2=3(2-y).
2.已知(a2+b2)2-3(a2+b2)-4=0,求a2+b2的值.
五、总结提升
本节课应掌握:熟练用因式分解法解某些一元二次方程.
六、作业布置
教材P17　习题21.2　6
21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
教学内容
由一元二次方程的求根公式推导一元二次方程根与系数的关系,并用根与系数的关系求方程另一根及字母系数的值及一些代数式的值等运用.21·世纪*教育网
教学目标
1.知识与技能:会用求根公式推导根与系数的关系,并利用它不解方程,解决一些与方程的根有关的问题.
2.过程与方法:不解方程,直接用根与系数的关系求方程的另一根,及有关x1、x2的对称式的代数式的值.www-2-1-cnjy-com
教学重难点
熟练用求根公式,不解方程而直接解决与方程的根有关的问题.
教学过程
一、教师导学
问题:方程x2+x-6=0的两个根.x1=　　　　,x2=　　　　,x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　.方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两个根x1=　　　　,x2=　　　　,x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　. 2-1-c-n-j-y
二、合作与探究
由上面的问题可知,x1+x2=-p,x1·x2=q,设方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),两根为x1,x2,那么x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　. 
　　分析:∵x1=
,x2=
,∴x1+x2=-
,x1x2=
这就是一元二次方程根与系数的关系.
【例1】若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根,不解方程,求下列代数式的值:
(1)
+
　　　(2)
+

(3)(x1-x2)2 (4)(x1+1)(x2+1)
分析:利用根与系数的关系得:x1+x2=2,x1x2=-1,再将所有式子用x1+x2,x1x2表示,再整体代入求解即可.【版权所有：21教育】
解:略.
【例2】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两实根为α,β,且
+
=-1,求m的值.
　　分析:
+
=
,由根与系数关系代入求出m的值,但是m的值必须满足一元二次方程有两实根,即满足Δ=b2-4ac≥0.
解:m=3.
三、巩固练习
1.已知方程2x2-3x-2=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2+x1x2= 
　. 
2.已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是
,求m的值.
解:m1=-11(舍去),m2=3.
3.关于x的方程x2-2
x+m=0的一个根为
+1,求方程的另一根,及m的值.
解:另一根为
-1,m=2.
四、能力展示
已知x1,x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根,且(x1+2)(x2+2)=11,求a的值.
解:a1=5(舍去),a2=-1.
五、总结提升
本节课应掌握不解方程,利用根与系数的关系解决关于x1+x2与x1x2有关代数式值的问题或求方程的根或字母系数的值.【来源：21cnj*y.co*m】
六、布置作业
教材P16　练习