课题：图形面积的最大值
【学习目标】
1．让学生用函数知识解决
最值问题(本节主要是面积问题)．
2．让学生能根据实际问题构建二次函数模型．[来源:Z|xx|k.Com]
【学习重点】
掌握用二次函数求最值来解决实际应用问题．
【学习难点】
将实际问题转化为数学问题是本节的难点．
情景导入　生成问题
旧知回顾：
某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．
(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)求最低总运费是多少元？
解：(1)由乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆，则
y＝30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x)＝20x＋860(0≤x≤6)．
(2)因为k＝20>0，y随x的增大而增大，所以当x＝0时，y最小＝860
.
所以最低总运费为860元．
引入：正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧．
自学互研　生成能力

【自主探究】
阅读教材P49“问题”，解决下面的问题．
1．问题中是通过什么方法来求出小球在运动中的最大高度？[来源:学。科。网Z。X。X。K]
答：通过公式法来求出(即当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值)．
归纳：一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y
＝ax2＋
bx＋c的顶点是最低(高)点，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值．[来源:Z&xx&k.Com][来源:学科网]
【合作探究】
典例：如图，一名男生推铅球，
铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－x2＋x＋.求出铅球行进中的最大高度．


解：因为a＝－，b＝，c＝，
所以当x＝－＝－＝4时，y有最大值．
＝＝3.
答：铅球行进中的最大高度是3米．

【自主探究】
阅读教材P49～P50“探究1”，解决下面的问题．
1．“探究1”中，场地面积S与边长l之间是什么关系？
解：二次函数关系．
2．当l取何值时，S最大？
解：当l＝－时，S最大．
3．当场地面积S最大时，该场地是什么图形？
解：正方形．
【合作探究】


典例：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x m，园子
面积为S m2，由题意得
S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0∵a<0，∴当x＝5(在0

变例：如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)y是否有最大
值？如果有，请求出y的最大值．
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.
(2)由题意：0<30－3x≤10，即≤x<10.对称轴为x＝＝－＝5，又当x>5时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时面积最大，最大面积为m2.
交流展示　生成新知


1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“
自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通
过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任
务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．


知识模块一　利用二次函数解决物体飞行中的最值
知识模块二　用二次函数解决图形面积最值

当堂检测　达成目标
【当堂检测】


1．如图，在△
ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B点
以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为2s.
2．将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.


3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，点P是AB边上的一个动点，过
点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝6cm时，四边形PECF的面积最大，最大值为9cm2．
【课后检测】见学生用书
课后反思　查漏补缺[来源:Z&xx&k.Com]
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑
：________________________________________________________________________
课题：拱桥问题
【学习目标】
1．学生能够利用二次函数知识解决拱桥问题．
2．让学生根据实际问题构建二次函数模型．
【学习重点】
建坐标系解决拱桥问题．
【学习难点】
灵活建立直角坐标系将拱桥问题转化为二次函数问题是本节的难点．
情景导入　生成问题[来源:Zxxk.Com]
现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？能不能利用二次函数的知
识解决与之相关的问题呢？

[来源:Z#xx#k.Com]
自学互研　生成能力[来源:学科网]

【自主探究】
阅读教材P51，完成下列问题：


典例：面的
水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱)，CO＝1米，FG＝2米．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)求柱子AD的高度
．
解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y＝ax2＋
c，
所以抛物线解析式y＝x2＋1.
(2)因为点A的横坐标为－8，当x
＝－8时，y＝5.
所以柱子AD的高度为5米．
【合作探究】
变例：如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小
孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.


图1　　　　　　　　图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6.
依题意，得B(10，0)．∴a×102＋6＝0
.
解得a＝－0.06.即y＝－0.06x2＋6.
当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5.
∴DF＝5，EF＝10.即水面宽度为10米．

【自主探究】[来源:学科网]
阅读教材P51“探究3”，解决下面的问题．
1．解决“探究3”时，为什么可以设抛物线的解析式为y＝ax2？如何求a的值？

解：因为抛物线的对称轴为y轴，顶点在原点，所以可以设解析式为y＝ax2.
2．水面下降1m时，水面的纵坐标是－3．
3．当水面下降1m时，水面宽度为多少米？水
面宽度增加了多少？
解：当水面下降1m时，水面纵坐标为－3，由题意得－x2＝－3，解得x＝±.
所以此时水面宽度为2
米．所以水面宽度增加了(2－4)米．
【合作探究】
你能提供尽可能多的方法吗？


解法2：建立如图所示的直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为y＝a(x－2)2＋2.
由抛物线
经过点(0，0)，可得a＝－.
∴这条抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋2.
当水面下降1m时，水面的纵坐标y＝－1.[来源:学*科*网]
当y＝－1时，可得x＝2±.
∴水面下降1m，水面的宽度为2m.
∴水面的宽度增加了(2－4)m.
交流展示　生成新知


1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板
上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．


知识模块一　坐标系中的拱桥问题
知识模块二　建立适当坐标系解决拱桥问题
当堂检测　达成目标
【当堂检测】
1．在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s＝5t2＋2t，则当t＝4时，该物体所经过的路程为(　D
　)
A．28米 B．48米 C．68米 D．88米


2．如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为2米．
3．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋
10表示．经过15s，火箭达到它的最高点．
【课后检测】见学生用书
课后反思　查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：_________________________________
___________________
课题：商品利润最大的问题
【学习目标】
1．能够用二次函数知
识解决商品最大利润问题．
2．能够根据实际问题构建二次函数模型．
【学习重点】
用二次函数知识解决商品最大利润问题．
情景导入　生成问题[来源:学科网]
旧知回顾：
某市某中学要印制本校高中招生的
录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．[来源:学*科*网]
(1)分别求两个印刷
厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？
解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)；
y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)；
(2)由题意得1.2x＋900＝1.5x＋540，∴x＝1 200.
∴当印刷1200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数量大于1200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量
大于500小于1200份时，乙印刷厂费用少．
引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题
中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧．
自学互研　生成能力

【自主探究】
阅读教材P50“探究2”，解决下面的问题．
仿例：某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元．该商品每月的销量就减少10件．
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；
(2)单价定
为多少元时，每
月销售该商品的利润最大？
最大利润为多少？
解：(1)y＝(80－60＋x)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000；
(2)y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，
∵a＝－10<0，∴当x＝5时，y有最大值，其最大值
为6250，
即单价定为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．

【合作探究】


典例：某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示．
(1)销售单价为多少元时，该种商
品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：(1)y＝ax2＋bx－75图象过点(5，0)，(7，16)．
y＝－x2＋20x－75的顶点坐标是(10，25)．
当x＝10时，y最大＝25.
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
(2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，
可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．[来源:学科网]
又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
交流
展示　生成新知


1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展
示在黑板上，通过交流“生成新知”．


知识模块一　利用二次函数求价格调整中的最大利润
知识模块二　其他类型的利润问题的最值
当堂检测　达成目标
【当堂检测】
1．一件工艺品进价为100元，
标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(　A　)
A．5元　　　　B．10元　　　　C．0元　　　　D．6元

2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为25元．
3．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是205万元．
【课后检测】见学生用书

课后反思　查漏补缺
1．收获：_____________________________________________
___________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________[来源:Z*xx*k.Com]