24.3 正多边形和圆
人教版初中数学九年级上册 第二十四章《圆》
学习目标
1.了解正多边形的定义；
2.理解圆内接正多边形相关概念；
3.掌握圆内接正多边形的边长、面积等的计算；
4.体会有三角形到多边形的知识迁移。
情景导入
五角大楼
上节回顾
前几节课我们学习了
圆的基本概念和性质？
点？、直线？圆？与圆的位置关系？
探究活动一
自读教材，理解正多边形的概念
结论
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
AB=BC=CD=DE=EA
∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
如正五边形满足的条件是
正n边形：
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
讨论：菱形是正多边形吗？矩形和正方形 呢?为什么？
你知道正多边形和圆有什么关系吗？
探究活动二
给你一个圆，怎样就能作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆.
例1：圆内接正五边形
如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形
弦相等（多边形的边相等）
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形
结论
讨论：
各边相等的圆内接多边形是正多边形?
各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,
说明为什么;如果不是,举出反例.
解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.
·
A1
A２
A３
A４
A５
A６
A７
An
O
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
结论
巩固练习
请同学们找出它们的中心，画出它们的半径，边心距和中心角。
（等边三角形，正方形等）
探究活动三
如何给定一个圆内接正多边形如何求出边心距？
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
R
a
练习： 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
请完成下表中有关正多边形的计算
1
60°
90°
120°
120°
90°
60°
2
4
2
2
12
8
2
1
巩固练习
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的
圆与　　　圆的圆心。
2、OB叫正△ABC的　　，它是正△ABC的 圆的半径。
3、OD叫作正△ABC的　　　　　，它是正△ABC的 圆的半径。
D
外接
内切
半径
外接
边心距
内切
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的 ;
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 .
A
B
C
D
.O
E
中心
边心距
提高练习
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
圆内接正三角形
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
·
A
B
C
D
O
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
·
A
B
C
D
O
E
S正方形ABCD=AB×BC=
圆内接正方形
小结
本节课我们学习了
1.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形。
3.我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距。
作业：见课后练习题
拓展：课后链接
再见！
这节课就到这里