24．3　正多边形和圆
第二十四章　圆
1．________、__________________的多边形是正多边形．
2．只要把一个圆分成________的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的________圆．
3．一个正多边形的外接圆的________叫做这个正多边形的中心，外接圆的________叫做这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的________叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________．
4．一般地，正n边形的一个内角的度数为______________，中心角的度数等于________；正多边形的中心角与外角的大小________．
各边相等
各角也相等
相等
外接
圆心
半径
圆心角
边心距
相等
正多边形的有关概念
1．(4分)下列说法不正确的是(　　)
A．正多边形一定有一个外接圆
B．各边相等且各角相等的多边形一定是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称圆形又是中心对称图形
D
2．(8分)如图，已知⊙O的内接等腰△ABC，AB＝AC，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求证：五边形AEBCD是正五边形．
D
D
C
6．(4分)如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为________度(不取近似值)．

7．(4分)正四边形的边心距为4 cm，则它的边长为________，它的半径为________．
8 cm
8．(8分)如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：(1)AC∥DE；(2)ME＝AE.
8.证明：(1)求出∠EMA＝∠DEB＝72°，∴AC∥DE　
(2)求出∠EMA＝∠EAC＝72°，∴ME＝AE
A
D
D
二、填空题(每小题5分，共15分)
12．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径是2，则正六边形ABCDEF的面积为________．
13．(2016·威海)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．
14．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ＝________．
75°
三、解答题(共30分)
15．(14分)如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)．
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b；
(2)求正六边形T1，T2的边长比．
【综合运用】
16．(16分)M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图(1)中∠MON的度数；
(2)图(2)中，∠MON的度数是________，图(3)中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
72°
90°
16.解：(1)连接OA，OB，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB＝120°，又∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∠OAM＝∠OBN，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°
九年级数学上册·R
第24章 圆
24.3 正多边形和圆
一、学习目标
1、理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念；
2、理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算.
二、新课引入
1、等边三角形的边、角各有什么性质？

2、正方形的边、角各有什么性质？
三条边相等，三个内角相等
四条边相等，四个内角相等
三、研学教材
知识点一 正多边形的概念与圆的有关概念

1、各边______ 、各角______ 的多边形叫做正多边形.
举例 如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正______ 边形．等边三角形有三条边叫正______ 角形，正方形有四条边叫正______ 边形．
相等
相等
n
三
四
三、研学教材
练一练
1 、判断下列图形是否是正多边形：
2、只要把一个圆分成_____ 的一些弧，
就可以作出这个圆的__ ___________ ，这个圆就是这个正多边形的_______ .
不是
不是
是
相等
内接正多边形
外接圆
三、研学教材
以圆内接正五边形为例。证明:(如图)
把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∵
∴AB=____ = ____ = ____ = ____ .
=3______=
∴∠A=∠B
同理∠B= ___= ____ = ____ .
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
⊙O是五边形ABCDE的______
BC
CD
EA
DE
∠C
∠D
∠E
外接圆
三、研学教材
练一练
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例.
答：各边相等的圆内接多边形是正多边形；各角相等的圆内接多边形是正多边形；理由：以圆内接正五边形为例证明
三、研学教材
知识点二 正多边形的有关概念
一个正多边形的__________的圆心，叫做这个正多边形的中心；______________叫正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的________叫做正多边形的边心距．
外接圆
外接圆的半径
中心角
距离
三、研学教材
思考
正 边形的每一个内角都等于____ _____ _ ，

正 边形的中心角等于_____ ，

正 边形的外角等于_____ ，

正多边形的中心角与外角_____ .
相等
三、研学教材
练一练
正六边形的内角和是_____ º ，中心角是_____ º，外角是_____ º
720
60
60
三、研学教材
知识点三 正多边形的有关计算问题
例 有一个亭子（如图所示）它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
三、研学教材
解：连接OB、OC,过O作OP⊥BC,垂足为P
∵由于六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形的半径为OC,边心距为OP, 它的中心角= = °
∴△OBC是_ ___ 角形，
∴正六边形的边长等于它的半径等于 .
∴亭子地基的周长L=___ ×____=24(m).
60
等边三
4
6
4
三、研学教材
在R t△OPC中，OC=4,PC= =____，
利用勾股定理，可得边心距
=________ =________ =________ m
∴亭子地基的面积
S= 6× = ≈____（ ）.
41.6
2
三、研学教材
分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。
四、归纳小结
相等
相等
1、各边_____ ，各角也_____ 的多边形是正多边形.
2、指出图中正多边形的中心、半径、中心角、边心距.
九年级数学上册·R
第24章 圆
24.3 正多边形和圆2
一、学习目标
知识点一
任意正n边形的作法
2、正方形ABCD的内切圆的半径 OE叫做正方形ABCD的＿＿＿＿＿＿
1、正方形ABCD的外接圆圆心O
叫做正方形ABCD的＿＿＿＿＿
3、在计算时常用的结论是：
（1）正n边形的中心角等于______.
（2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形.
中心
半径
直角
二、新课引入
二、新课引入
5、有一个正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是______边形。
4、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是 ______.
30°
正六
三、研学教材
知识点一
任意正n边形的作法
用量角器作一个等于 的圆心角，
再等分圆.
举例：利用你手中的工具画一个边长
为2cm的正六边形．
任意n正边形的作法：
画法：
（1）以O为圆心，
OA= 为半径画圆；
相等
2cm
三、研学教材
知识点一
任意正n边形的作法
（3）画出的60º的圆心角对着一段弧，
然后在圆上依次截取与这条弧相等的
弧，就得到 个等分点
（4）顺次连接 ，即可得出
正六边形.请你按照上面的画法，
画出图形.
六
各分点
三、研学教材
知识点一
任意正n边形的作法
R
三、研学教材
知识点一
任意正n边形的作法
R
三、研学教材
知识点一
练一练
画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.
三、研学教材
知识点二
特殊正多边形的作法
1、尺规作图画出正六边形（正三角形）
作法：由于正六边形的边长等于 ，
所以在半径为为R的圆上依次截取等于
的弦，就可以将圆六等分，顺次连
接各分点就可以得到半径为 的正
六边形.
半径
R
R
三、研学教材
知识点二
特殊正多边形的作法
2、用尺规作图画出正方形（正八边形、正十六边形）
作法：作两条互相
垂直的直径，就
可以把圆四等
分，从而作
出正方形。
三、研学教材
知识点二
练一练
1、在图中，用尺规作图画出圆O
的内接正三角形．
R
三、研学教材
知识点二
练一练
2、已知正三角形的边长为，其内切圆
半径为，外接圆半径为R， 则r:a:R
等于（ ）
(提示：任何一个正多边形都有一个
外接圆和内切圆，它们是同心圆)
A
四、归纳小结
1、画正多边形的方法：
_____________________________________________________________________
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相
等，因此作相等的圆心角就可以等分
圆周，从而得到相应的正多边形。