24.3 正多边形和圆
公安县裕公初级中学 张集平
观察下列图形他们有什么特点？
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
一 .正多边形定义（复习）
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。
思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
菱形, 矩形都不是正多边形
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
正多边形的性质及对称性
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
它的中心就是对称中心。
1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
正n边形与圆的关系
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,能得到正多边形吗?
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
能得到正多边形吗??
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
A
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
⌒
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
定义：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正多边形.
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的
外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
二. 正多边形有关的概念
A
B
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的内角:
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的边心距：
三. 正多边形有关的计算
A
B
正多边形的面积：
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
三、正多边形的有关计算
例1. 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
.
O
B
C
r
R
P
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
.
O
B
C
r
R=4
P
例2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
.
.
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
1、正八边形的中心角是 度;它的外角是 度.
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
4． 圆内接正六边形的边长是8 cm，那么该正六边形的半径为________；边心距为________．
四.拓展练习
5．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
6．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° B、 18°
C．72° D．54°
判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ）
A
×
×
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
①各边相等
②各角相等
的多边形叫做正多边形。
3、正多边形有哪些元素？怎样求出这些元素？
再见