九年级数学上册·R
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
例1.用开平方法解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
巩固练习 1
（１）方程　　　　的根是
（２）方程　　　　　的根是　　
（3） 方程 　　　　的根是
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2） x2 ＝50
(3)(x＋1)2=4 (4)x2＋2 x＋5=0
X1=0.5, x2=－0.5
X1＝3， x2＝—3
X1＝2， x2＝－1
合作探究
这种方程怎样解？
变形为
的形式．（ａ为非负常数）
变形为
X2－4x＋1＝0
（x－2）2=3
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2
(2)x2－4x＋ =(x－ )2
(3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2
填空
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
16
6
3
4
2
例2：用配方法解下列方程
(1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
(2) －x2＋4x－3=0
(1) x2＋12x =－9
做一做
练习3：用配方法解下列方程：

4. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－3k＋5的值必定大于零.
思考：先用配方法解下列方程：
（1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0
（3） x2－2x＋1＝0
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？
（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？
谈谈你的收获！！
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项
系数一半的平方.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一、复习与引入
1、用配方法解下列方程：
； （2）
（1）
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
（1）化二次项系数为1；
（2）移常数项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式；
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求方程的解。

任何一元二次方程都可以写成一般形式
你能否也用配方法得出①的解呢？
二次项系数化为1，得
配方
即
①
二、探究新知
②
移项，得
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，
由②式得
②
由上可知，一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
时，将 a，b，c代入式子
例1 解下列方程：
用公式法解方程的一般步骤：
（3）判断b2-4ac的符号。当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、

x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。（确定a、b、c的值
时要注意符号．）
（2）求b2-4ac的值。
三、新知运用

解：（1）
四、新知巩固
1、完成课本12页练习1
解：
解：
解：
解：化为一般式
解：化为一般式
2、解决本章引言中问题：要设计一座2m高的人体雕像，使雕像
的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部
（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？（精确到0.01）
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
解这个方程，得
精确到0.001，x1≈ 1.236，x2≈ －3.2 36
虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．
五、小结
求根公式
用公式法解方程的一般步骤:
（3）判断b2-4ac的符号。当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、

x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。
（2）求b2-4ac的值。
你能利用求根公式写出方程 的解吗？该
方程有解的条件是什么？
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
温故而知新
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
(2)配方法:
x2=a (a≥0)
(x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法:
（4）因式分解法
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b).
一.因式乘法
1:计算:
(1). (x+2)(x+3); (2). (x+2)(x-3);
(3). (x-2)(x-3); (4)(x+a)(x+b);
二.分解因式
反过来:
(x+a)(x+b)
x
x
6
-3
(1).因式分解竖直写;
(2).交叉相乘验中项;
6x-3x=3x
(3).横向写出两因式;
(x+6)和(x-3)
解:原式=
(x+6)
(x-3)
(x+a)(x+b)＝
例 把
x

x
3

-5
(x+3)
(x-5)
a

a
5

2
解:原式=
(a+5)
(a+2)
-5x+3x=-2x
5a+2a=7a
练习一
结果为
结果为
结果为
B
A
C
D
三.十字相乘法分解因式－解方程（1）
解
解
解
解
十字相乘法分解因式:
例 解下列方程
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
四.二次三项式与一元二次方程的根的关系
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
观察下列各式,也许你能发现些什么
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
利用十字相乘法解一元二次方程:
习题
用因式分解法解关于 的方程
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
知识回顾
（2）方程（x-x1）(x-x2)=0的两根是多少？你有何根据？一般形式呢？
若设它的一般形式为x2+px+q=0,那么x1,x2与p,q之间有何关系？
由两个式子对比可得：p= - (x1+x2), q=x1x2
所以 x1+x2= - p x1x2=q
（1）一元二次方程(x-2)(x-3)=0的两根是多少？
复习回顾
新知探索
我们再来看二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系．

我们就可以将之写成x2＋px＋q＝0的形式，根据前面探究的根与系数的关系，
结论：x1+x2=-p ,x1x2=q
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
1、求下列方程两根之和、两根之积：
先要化成一般形式：
应用新知
2、(书P16 练习)不解方程，求下列两根的和与积：
强调将方程化成一般式
3、已知直角三角形的两条直角边是方程x2－3x＋1＝0
的两个根，求直角三角形的面积。
4、已知－２和１是方程x2＋px＋q＝0的两个根，求 p和 q的值。
例1：不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两个根的
（1）平方和；（2）倒数和．
分析：设方程两根为x1 , x2.那就是求
由根与系数的关系可知：
新知拓展：
练　习
已知关于x的方程
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
1
-1
例2：已知－２是方程x2＋kx－10＝0的一个根，
则： 另一个根为_______ k＝_______
-3
练习：已知一元二次方程2x2+3x-k=0的一个根是1, 求另一个根及k值。
5
例3：已知x1,x2是方程x2+mx+m-1=0的两个根，且x12+x22=17，求m的值。
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）