22.3　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数与图形面积
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c最值的方法：
(1)用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，当自变量x＝________时，函数y有最大(小)值为________．
(2)用公式法，当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(小)值________．
2．面积最值问题应设图形的一边长为________，所求面积为因变量，建立__________的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的__________．
h
k
自变量
二次函数
取值范围
求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的值等于(　　)
A．4 B．8 C．－4 D．16
2．(4分)函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为(　　)
A．4和－3 B．－3和4 C．5和－4 D．－1和4
D
C
二次函数与图形面积问题
3．(4分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(　　)
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
C
4．(4分)已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
B
5．(4分)用一定长度的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为________，此时x＝________．
144
12
6．(4分)某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16 m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式为________________，x的取值范围是________，当x＝________时，面积S最大，最大面积为________．
S＝－4x2＋24x
2≤x＜6
3
36 m2
7．(8分)用12 m长的木料做成如图的矩形窗框，则当长和宽各为多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？
8．(8分)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
D
C
二、填空题(每小题5分，共10分)
11．如图所示，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC＝________时，三个正方形的面积之和最小．
4
12．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数解析式为____________，当x＝________时，S的值最小．
S＝2x2－2x＋1
三、解答题(共42分)
13．(12分)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm，请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)
14．(15分)如图，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设x s时，三角形与正方形重合部分的面积为y m2.
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝2，3.5时，y分别是多少？
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
解：(1)因为三角形与正方形的重合部分是等腰直角三角形，且直角边都是2x，所以y＝2x2(0≤x≤5)　(2)在y＝2x2中，当x＝2时，y＝8；当x＝3.5时，y＝24.5　(3)在y＝2x2中，因为当y＝50时，2x2＝50，所以x2＝25，x1＝5，x2＝－5(舍去)．答：当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5 s
【综合运用】
15．(15分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
(2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
22.3　实际问题与二次函数
第2课时　二次函数与商品利润
单件利润＝______________；总利润＝___________________.
售价－成本
销售量×单件利润
二次函数与最大利润问题
1．(4分)某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是(　　)
A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2
C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1＋x)2
D
2．(4分)一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x2)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
3．(4分)喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝－10x2＋100x＋2 000
B．y＝10x2＋100x＋2 000
C．y＝－10x2＋200x
D．y＝－10x2－100x＋2 000
A
4．(4分)一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(　　)
A．5元 B．10元 C．0元 D．6元
A
5．(4分)某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团有________人．
50
6．(8分)将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了获得最大利润，每个售价应定为多少元？
设售价在90元的基础上上涨x元，总利润为y元，由题意，得y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.∴当x＝5时，y有最大值，最大值为4 500.此时90＋x＝95.即售价为95元时可获得最大利润
7．(12分)在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
205万元
9．某公司在甲、乙两地同时销售某品牌汽车，已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为________．
46万元
二、解答题(共48分)
10．(12分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【综合运用】
12．(20分)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.
(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300.∴政府这个月为他承担的总差价为：300×(12－10)＝300×2＝600(元)　(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5 000＝－10(x－30)2＋4 000.∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4 000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4 000元
(3)由题意，得－10x2＋600x－5 000＝3 000.解得x1＝20，x2＝40.∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，建立直角坐标系，并画出y＝－10x2＋600x－5 000的函数图象．∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3 000.又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3 000.设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000.∵－20＜0，p随着x的增大而减小，∴当x＝25时，p有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元
22.3　实际问题与二次函数
第3课时　建立二次函数模型解决实际问题
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的__________________________________________________；
(2)把已知条件转化为________；
(3)合理设出函数________；
(4)利用________法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
直角坐标系
点的坐标
解析式
待定系数
建立直角坐标系解决抛物线形问题
1．(5分)某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高(精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度不计)为(　　)
A．8.1 m B．9.1 m
C．10.1 m D．12.1 m
B
B
3．(5分)平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为(　　)
A．1.5 m B．1.625 m
C．1.66 m D．1.67 m
B
4．(5分)如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5 m的地方，桥的高度是________m.
15
5．(5分)某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米．则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围为________米．
6．(15分)隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高4 m，宽为2 m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
【综合运用】
12．(16分)(2016·朝阳)为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式；(不要求写自变量x的取值范围)
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)