23.2.1 中心对称
一、复习提问:
1.什么是轴对称呢？
2.关于轴对称的两个图形有哪些性质？
把一个图形沿着某一条直线折叠能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或轴对称.
1.两个图形是全等形.
2.对称轴是对称点连线的垂直平分线.
3.图形的旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形变换称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
4.图形的旋转的性质：
①、旋转前后的图形全等.
②、对应点到旋转中心的距离相等.
③、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
5.图形的旋转的作图：
先连结，再作角，最后截取.
A
C
B
二.新课探究
如果将一个图形绕一点旋转180度得到一个新的图形，这样的两个图形是什么关系呢？
你知道吗？可以告诉我吗？
(1)把其中一个图案绕点O旋转180°.你有什么发现?
重 合
重 合
(2)线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把 △OCD绕点O旋转180°.你有什么发现?
O
A
Ｏ
D
B
C
像这样把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点就叫对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点.
观察:C、A、E三点的位置关系怎样?线段AC、AE的大小关系呢?
A
C
B
C、A、E三点在一条直线上或∠CAE= 180°.
AC=AE
1.中心对称的定义:
A
B
C
B`
A`
O
C`
思考:
1.把△ABC绕着O点旋转60 °
得到的△A`B`C`,这两个三
角形成中心对称吗?
2.把△ABC绕着O点旋转120 °
得到的△A`B`C`,这两个三
角形成中心对称吗?
3.把△ABC绕着O点旋转180 °,得到的△A`B`C`,这两个三角形成中心对称吗?
不是,因为旋转了60 °
不是,因为旋转了120 °
是,因为旋转了180 °
问题1.2.与问题3有什么区别和联系呢?
旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋 转180°，画出△A′B′C′；
O
第三步，移开三角板.
合作探究:
合作探究:
旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：
分别连接AA’ ,BB’,CC’。
点O在线段AA′上吗？
如果在，在什么位置？ △ABC与△A′B′C′有什么关系？
(1)点O是线段AA ′的中点
(为什?)
（2）△ABC≌△A′B′C′
(为什么?)
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋 转180°，画出△A′B′C′；
很显然画出的△ABC与△A’B’C’关于点O对称.
第三步，移开三角板.
(1). 点A′是绕点A旋转180°后得到的,即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′,所以点O在线段AA′上,且OA= OA′,即点O是线段AA′的中点.同样地,点O是线段BB′ CC′的中点.
(2).在△AOB与△ A′ O B′中
OA=OA ′,OB=OB ′ ∠AOB= ∠AOB ′
∴ △AOB≌△ A′ O B′（SAS）
∴AB=A ′ B ′
同理 : BC=B ′ C ′,AC=A ′ C ′
∴ △ABC≌△ A′ B′C ′（SSS）
证明:
下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称的,你能从图中找到哪些等量关系?
（1）OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′
（2）△ABC≌△A′B′C′
找一找:
（1）关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心所平分.
（2）关于中心对称的两个图形是全等形。
2.归纳：中心对称的性质
想一想
3.中心对称与轴对称有什么区别?又有什么联系?
类比你能得到什么结论？
4.中心对称的作图
A
O
A'
连结OA，
并延长到A'，使OA'=OA，
例1、(1)已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'
则A'是所求的点
例1.(2)、已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A' B'
O
A'
B'
A
B
连结AO并延长到A'，使OA'＝OA，
则得A的对称点A'
连结BO并延长到B' ，使O B' ＝OB，
则得B的对称点B'
连结 A' B' ，则线段A' B'是所画线段
例1 (3).如图.选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
A′
C′
B′
△A′B′C′即为所求的三角形。
怎么办？可以帮帮我吗？

例1（4） 已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于这一点对称。
A
B
A′
C′
B′
D′
D
O
C
四边形A１B１C１D１即为所求的图形。
画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC边的中点为对称中心。
提高练习
E
F
G
M
N
你知道怎么办吗？
如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。
应用
怎么办？可以帮帮我吗？
解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点O即为所求（如图）
O
O
解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交于点O，则点O即为所求（如图）。
练习P70. 1. 2
23.2.2 中心对称图形
一.知识回顾
1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转1800,如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点成中心对称.

2. 中心对称的性质:
⑴关于中心对称的两个图形是全等图形
⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分
（3）关于中心对称的两个图形,对称线段平行且相等
请你欣赏
定义
把一个图形绕着某一个点旋转 180°，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点
叫做它的对称中心。

Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
D
想一想
下面哪些图形是中心对称图形?
o
中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有
区别的概念
区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称
联系: 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,

则它们是中心对称图形
如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。
想一想
对比1
轴对称图形与中心对称图形：
有一条对称轴—直线
有一个对称中心—点
图形沿轴对折
图形绕这个点旋转180O
对折部分与另一部分
重合
旋转后与原图形重合
对比2
轴对称图形与中心对称图形的比较
轴对称图形与中心对称图形的比较
想一想
(1)三角形是中心对称图形吗？
(2)正五边形是中心对称图形吗？
(3)正六边形是中心对称图形吗？
(4)除了平行四边形，你还能找到哪些多边形
是中心对称图形？
结论：中心对称的多边形很多，如边数为偶数
的正多边形都是中心对称图形。
1.下列图形哪些是中心对称图形
图1
图2
图3
O
2、下面哪些图形是中心对称图形?
1.在下列图形中，是中心对称图形的是 （ ）
C
2.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
随堂练习
3、在一次游戏当中，小明将图1的四张扑克牌中的一张旋转180O后，得到图2，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？
图1
图2
4、 ⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形
C
⑶ 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形
A
⑷ 已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
A 0 B 1 C 2 D 3
B
现在你能很快地找到点E的对应点F吗？
OA__OB
OC__OD
观察一对对应点与其对称中心有何位置和数量关系？
风车
认真观察
结论：中心对称图形的每一对对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分
5.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、
⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有______________,是中心对称图形的有____________,既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨
①②③④⑥⑦⑧⑨
①⑥⑦⑧⑨
随堂练习
6.把如下的26个英文大写字母看成图案,哪些英文大写
字母是中心对称图案?哪些是轴对称图案?找找看.
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
随堂练习
7、 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，
以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是
那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心
对称性。
请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，
是中心对称图形的有 。
一石激起千层浪
汽车方向盘
铜钱
如图，直线a⊥b，垂足为O，点A与点A′关于直线a对称，点A′与点A″关于直线b对称，点A与点A″有怎样的对称关系？你能
说明理由吗？
想一想
【例1】
（1）在左图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为 　；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为　　　；
①与②
①与③
☆典例分析
（2）在右图中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1
【例2】如图所示，如果l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：
(1) AB=BC(2)AB∥CD(3)AB⊥BC(4)AO=OC其中正确的结论是 .(把你认为正确的结论的序号都填上)
(1)、(2)、(4)
☆典例分析
5.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
☆练一练
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合?
O
如图，四边形ABCD关于点O是中心对称图形，
求证：四边形ABCD是平行四边形
O
证明：
连结AC、BD
∵四边形ABCD关于点O是中心对称图形
∴点O在AC和BD上，且OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
·
如图：过□ABCD的对角线交点O作两条互相垂直的直线分别交□ABCD各边于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是菱形
证明：∵O是□ABCD的对称中心
EF、GH经过点O
∴E、F和G、H分别关于点O对称
∴四边形EGFH是平行四边形
∵EF⊥GH
∴四边形EGFH是菱形
23.2.3关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中画出下图点关于x轴的对称点.
A(-4, 2)
·
·
A’ (-4, -2)
思考：关于x轴对称的点的坐标具有怎样关系？
关于x轴对称的点
横坐标相等,
纵坐标互为相反数.
点（a, b）关于x轴对称的点的坐标为______.
(a,－b)
x
y
在平面直角坐标系中画出下图点关于y轴的对称点.
A (-4, 2)
·
·
A’’(4, 2)
思考：关于y轴对称的点的坐标具有怎样关系？
关于y轴对称的点,
横坐标互为相反数,
纵坐标相等
点（a, b）关于y轴对称的点的坐标为______.
(-a,b)
x
y
A′
如何确定平面直角坐标系中A，B点关于原点对称的点A′，B′坐标？
A′ ( -2，-1 ) ，
A ( 2，1 )，
探究1
B
B′
B( 1，-2 )
B′ ( -1，2 )
关于原点对称的两个点坐标之间有什么关系？
横坐标、纵坐标均互为相反数
点（a, b）关于原点对称的点坐标为______.
(-a,-b)
填一填
1.点P(1,3)关于x轴的对称点的坐标是_______
关于y轴的对称点的坐标是________
关于原点的对称点的坐标是________.
(1,-3)
(-1,3)
(-1,-3)
2、已知点P(2a+b,a)与点P’(1,b)关于原点对称，
则a=_____ ，b=_______.
-1
1

_______.
（-1，1）
利用关于原点对称的点的坐标特点，作出与△ABC关于原点对称的图形△A′B′C′
x
y
O
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
2
3
4
1
-2
-3
A
解：点A(-4,1) 、 B (-1,-1)、 C (-3,2)
C
B
A′
C′
B′
探究2
关于原点对称的点的坐标分别是A ′(4,-1), B ′(1,1)，C ′ (3,-2)
x
y
O
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
2
3
4
1
-2
-3
练一练：（教科书P68第3题）
四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5,0),B(-2,3)，C(-1,0),
D(-1,-5),作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形为四边形A′B′C′D′
-4
-5
5
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
作出与线段AB关于原点对称的图形．
例：已知一次函数y=kx+b的图象与一次函数
y=2x+2的图象关于原点对称，求k，b的值。
探究3
A′
B′
☆应用拓展
直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1
（2）求出直线A1B1函数解析式
中考突破
1.（菏泽市中考题）已知点A（a-1，5）和B（2，b-1）关于x轴对称，则（a+b）2006的值为（ ）
A. 0 B. －1
C. 1 D. （－3）2006
2.(陕西省中考题)点P关于y轴的对称点P1的坐标为(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是 （ ）
A. (-3，-2) B. (2，-3)
C. (-2，-3) D. (-2，3)
C
B
3、（河南）如图，阴影部分组成的图案 既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），
则点M 和点N 的坐标分别是________
M(-1,-3)
N(1,-3)
A
x
y
O
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
2
3
4
1
-2
-3
A
C
B
5、已知平行四边形，A(1,1)， B(-3,1),
（1）若C(-1,0)，求出第四个点D的坐标.
（2）若平行四边形在坐标系内关于原点对称,
已知点A，点B的坐标不变，且点C在第三象
限，点D在第四象限，求点C，点D的坐标?
（1）D(-5，0)或（3，0）或（-1，2）
学习了在平面直角坐标系中，对称的点的坐标的特点。
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
关于原点对称的点横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
课 堂 小 结
即：
点P(a,b)关于X轴对称的点的坐标为（a,-b)
点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为（-a, b)
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为（-a,-b)
拓 展 练 习
已知两点A(0,2)，B(4,1)，点P是x轴上一点，使PA+PB的值最小，确定点P的位置

☆应用拓展
如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1．
（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．