全等三角形考前训练题（一）
1、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP。”

           

（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP。请你帮小亮完成证明。
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ＝CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明。若不成立，请说明理由。
2、如下图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD＝DC。求证：BE＝CF


3、如图所示,在直角三角形ABC中, ∠ABC=90°,AB=BC,点D为斜边AC的中点, E为AC上一点,过点A作AG垂直直线BE,垂足为G点,AG与直线BD交于点F. 求证: DE=DF.

 (2)若把(1)中“E是AC上的一点”改为“E是AC延长线上的一点”,其他条件不变,请作出图形,并指出结论“DE=DF”还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
 

4、如图所示, AC平分∠DAB.CE⊥AB,CF⊥AD,E、F为垂足,且BC=CD,
  求证: (1) △CDF≌△CBE;
(2)若AB=25,AD=13,BC=10,求CE的长.
 


5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是DC的中点，BE
DC，点F在线段
BE上，且满足BF=AB，FC=AD．
求证：(1)
A=
BFC．
      (2)
FBC=
BCF．
 
 
6、在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
 


7、如图（1）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，AE＝DF，
（1）求证：BF＝CE；
（2）当E、F相向运动，形成图（2）时，BF和CE还相等吗？请证明你的结论。


（1）                 （2） 
8、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。
（1）       证明：BE=AG ；
（2）       点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由。


9、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。



10、如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．


11、  如图6．点D，E在△ABC的边BC上．连接AD．AE．①AB=AC：②AD=AE：
③BD=CE。以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论．构成三个命题：①②
③；①③
②，②③
①。
 （1）以上三个命题是真命题的为(直接作答)__________________；
（2）选择一个真命题进行证明(先写出所选命题．然后证明)。

12、如图所示，四边
形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.
（1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系.



13、已知两个全等的等腰直角
、△DEF，其中
ACB=
DFE=90
，E为AB中
点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于
M、N．
  (1)如图l，当线段EF经过
的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC
于M,求证：AM=MC；
  (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连
MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由；
  (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连
MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由。



参考答案

1、证明：（1）∵∠QAP＝∠BAC
∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP
即∠QAB＝∠CAP               
在△BQA和△CPA中
AP＝AQ，∠QAB＝∠CAP，AB＝AC
∴△BQA≌△CPA（SAS）    
∴BQ＝CP                 
（2）BQ＝CP仍然成立，理由如下：   
∵∠QAP＝∠BAC
∴∠QAP＋∠PAB＝∠BAC＋∠PAB     
即∠QAB＝∠PAC
在△QAB和△PAC中
AP＝AQ，∠QAB＝∠PAC，AB＝AC
∴△QAB≌△PAC（SAS）    
∴BQ＝CP                     
2、证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠E＝∠DFC＝90°                   
∵AD平分∠EAC
∴DE＝DF                         
在Rt△DBE和Rt△CDF中
DE＝DF，BD＝DC
∴Rt△DBE≌Rt△CDF（HL）     
∴BE＝CF                     
3、 (1)证:∵AB=BC  D为AC中点
   ∴BD⊥AC   ∠ABD=∠CBD=45° (三线合一)           
   ∵AB=BC, ∠ABC=90° ∴∠BAC=∠BCD=45°
   ∴∠ABD=∠CBD=∠BAC=∠BCD=45°   ∴BD=AD=CD
   在△BFG和△AFD中
   ∠BFG=∠AFD    ∠BGF=∠ADF=90°   ∴∠GBF=∠DAF
   在△ADF和在△BDE中

   ∴△ADF≌△BDE    ∴DE=DF                      
  (2)补全图形                                         
同理可证                                      
4、 (1)证:∵AC平分∠DAB, CE⊥AB, CF⊥AF
   ∴CF=CE                                             
   在Rt△CDF和Rt△CBE中

   ∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)                           
   (2)∵Rt△CDF≌Rt△CBE       ∴DE=BE
   在Rt△AEC和Rt△AFC中,

   ∴Rt△AEC≌Rt△AFC    ∴AE=AF                   
   即
                             
   设BE=DF=
,AB=25   AD=13,可得
  

     

      
                                          
   ∴在Rt△CBE中,
      
5、证明：（1）连接BD                                    
∵点E是DC的中点，BE⊥DC
        
BE垂直平分DC


BD=BC                            
 在
与
中




≌


∠A＝∠BFC                       
（2）由（1）知
≌


∠1＝∠2                         
∵AD∥BC

∠1＝∠DBC
∵BD=BC且BE⊥DC
        
∠3＝
∠DBC                     

∠3＝
∠2
即∠FBC＝
∠BCF                  
6、解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°又EC＝EC∴△BCE≌△DCE
（2）∵△BCE≌△DCE  ∴∠BEC＝∠DEC＝
∠BED∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF ∴∠EFD＝60°+45°＝105°
7、（1）即证△BAF≌△CDE；（2）还相等，证法同（1）。
8、（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2                               
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2
∴△GAB≌△EBC (ASA)
∴AG=BE                       
（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB  
理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,
由（1）可知，AG=BE
∴AG=AE         
∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°
又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS)
∴∠AGF=∠AEF          
由（1）知，△GAB≌△EBC
∴∠AGF=∠CEB,
∴∠AEF=∠CEB           






 

9、（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°
∴∠CAD=∠CBD=45°
∴∠CAE=∠BCG    又BF⊥CE
∴∠CBG+∠BCF=90°又∠ACE+∠BCF=90°
∴∠ACE=∠CBG∴△AEC≌△CGB
∴AE=CG
（2）BE=CM
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED   ∴∠CMA+∠MCH=90°  ∠BEC+∠MCH=90°
∴∠CMA=∠BEC
又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°
∴△BCE≌△CAM
∴BE=CM
10、解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠QBC=∠DAC=30°，
∴CH=
BC=
×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．


11、



12、（1）证明：∵  正方形ABCD
点G，E为边AB、BC中点
∴  AG=EC   
又∵  CF为正方形外角平分线
且∠AEF=90°，BG=BE
∴  ∠AGE=∠E
    ∠
GAE=∠FEC
∴  △AGE≌△ECF 
∴  EG=CF  
（2）（图略）
     平行   
二、综合题

13、（1）∵AC=BC，E为AB中点

CE⊥AB, ∠ACE＝∠BCE =
ACB=45o

∠AEC＝90o

∠A=∠ACE=45o

AE=CE                                    
∵DF=EF, ∠DFE＝90o

∠FED=45o

∠FED=
∠AEC
又∵AE=CE

AM=MC                                   
（2）AM=MN+CN，理由如下:                       
在AM截取AH，使得AH=CN，连接BH
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45o
在
与
中：


≌


HE=NE，∠AEH＝∠CEN

∠HEM=∠AEC－∠AEH－MEC=∠AEC－∠CEN－MEC=∠AEC－∠MEF=
=45o

∠HEM=∠NEM=45o
在
与
中：


≌


HM=MN

AM=AH+HM= CN +MN
即AM=MN+CN                               
（3）猜得MN = AM +CN