中考专题复习
—— 全等三角形
一.全等三角形：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
2：全等三角形有哪些性质？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。

知识回顾：
1、（SSS定理）如图：△ABC与△DEF中

∵
语言概述：
EF
BC
DF
AC
DE
AB
SSS
∴△ABC≌△DEF（ ）
两边对应相等，两三角形全等。
2、（SAS定理）如图：△ABC与△DEF中

∵
语言概述：
∠B
EF
BC
DE
AB
SAS
∴△ABC≌△DEF（ ）
两边及夹角对应相等，两三角形全等。
∠E
知识回顾：
3、（ASA定理）如图：△ABC与△DEF中

∵
语言概述：
AB
∠ E
∠ B
∠ D
∠ A
ASA
∴△ABC≌△DEF（ ）
三边及夹角对应相等，两三角形全等。
DE
知识回顾：
4、（AAS定理）如图：△ABC与△DEF中

∵
语言概述：
∠ B
EF
BC
∠ D
∠ A
AAS
∴△ABC≌△DEF（ ）
两角及其中一条对应相等，两三角形全等。
∠ E
知识回顾：
5、（HL定理）如图：Rt△ABC与Rt△DEF中 , ∠ A= ∠ D=90°

∵
语言概述：
AB
EF
BC
HL
∴ Rt △ABC≌ Rt △DEF（ ）
斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
DE
知识回顾：
一般三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
2.SSS；
3.SAS；
4.ASA；
5.AAS.
直角三角形 全等特有的条件：
HL.
包括直角三角形
不包括其它形状的三角形
知识回顾：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)
知识回顾：
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
(2)已知一边一角---
已知一边和它的邻角
找是否有直角
(HL)
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
已知角是直角，找一边(HL)
(3)已知两角---
找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)
方法指引：
4：全等三角形的性质
∵△ABC≌△DEF
∴AB= ，AC= ,BC= ，
∠A= ，∠B= ，∠C= ；
①全等三角形的对应边 全等三角形的对应角
②全等三角形的周长 、面积 。
对应边上的对应 、 、 分别相等。
二.全等三角形的性质与判定定理的运用举例
1、如图1，已知△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.5cm，
∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm，EC= cm，
∠C= 度；∠D= 度；
（第1小题）
2、如图2，已知，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（第2小题）
4、如图4，平行四边形ABCD中，图中的全等三角形是 ；
如图3
4、如图4，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ABC≌△BAD，只需增加的一个条件是 ；（只需填写一个你认为适合的条件）
如图4
5、分别根据下列已知条件，再补充一个条件使得下图中的△ABD和△ACE全等；
（1）AB=AC,∠A＝∠A, ；
（2）AB=AC,∠B＝∠C ；
（3）AD=AE, ，DB=CE.
如图5
6、如图，AC＝BD，BC＝AD，说明△ABC和△BAD全等的理由．
证明：在△ABC与△BAD中，
∵

∴△ABC≌△BAD（ ）
如图6
7、如图, CE=DE，EA=EB，CA=DB，
求证：△ABC≌△BAD.
证明∵CE=DE， EA=EB
∴ =
在△ABC和△BAD.中，
∵
∴△ABC≌△BAD.（ ）
三.课堂小结
1、如图1，已知AC=AB，∠1=∠2；求证：BD=CE

2、如图2,点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，△AMD和△BMC全等吗？为什么？

3、如图3,已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE∥DF；求证：BE＝DF；
如图1
如图2
如图3
练习
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。
12
c
A
B
D
E
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？
5.如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
解：AC=AD
6.如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。
答：
△ABC≌△DEF
证明：
7.如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF
求证：
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
9.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）
2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）
拓展题
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果……那么……）（1） ；（2） ；
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。
求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
13.已知：如图21，AD∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
谢谢！