第六周 尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做
余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题精讲1
写出除333后余3的全部两位数。
思路导航：
因为333=330＋3，把330分解质因数：330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11，一共有8个两位数。
举一反三1
1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？
2、写出除349后余4的全部两位数。
分析：首先对317-2=315，再把315分解质因数：
315=3×3×5×7 ，所有符合条件的两位数再去组合
在一起。
思路分析：首先对349-4=345，再把345分解质因数：
345=3×5×23 ，所有符合条件的两位数再去组合
在一起。
3、写出除1095后余3的全部三位数。
首先对1095-3=1092，再短除法，把1092分解质因数：1092=2×2×3 ×7×13，所有符合条件的三位数再去组合在一起。
2
1 0 9 2
5 4 6
2
2 7 3
3
7
9 1
1 3
9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
例题精讲２
思路分析 （1）我们先列举前几个９相乘的积，看看个位数在怎样变化，1个９个位就是９；
９×９的个位是１；９×９×９的个位是９；
９×９×９×９的个位是１……由此可见，积的尾数以“１，９”两个数字在不断重复出现。 51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
小数乘法的运算，暂时不考虑小数点。一个３的积，个位数字是３，两个３相乘，积的个位数字是９，三个３相乘，积的个位数字是７，四个３相乘，积的个位数字是１.以此类推，个位数字出现的规律是按“3、9、7、1”的顺序重复。那么共有204÷4＝51个循环，最后一个尾数是１.所以前后两部分相乘，尾数应是１×5=5
的积的尾数是几？
例题精讲２
1、61×61×61×…×61[2011个6]积的尾数是几？
举一反三2
分析：一个61相乘，积的尾数是1，两个61相乘，积的尾数
也是1，三个61相乘，积的尾数还是1。那么就可以找到规律性。
2、（31×36）×（ 31×36） ×（ 31×36） …× （31×36）[50个(31×36）]积的尾数是几？
分析：一个（31×36）相乘，积的尾数是6，两个（31×36）相乘，积的尾数也是6，三个（31×36）相乘，积的尾数还是6。那么就可以把50个（31×36）， 当成50个6来相乘。
3、9×9×9×…×9[91个9]积的个位数是几？
举一反三2
思路导航：只要找出一个9相乘，积的个位是9，
两个9相乘，积的个位是1。三个9相乘，积的个位
是9，就可以发现规律性。
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
例题精讲3
4 4 4 4 4 4 4…4
6
7 4 0 7 4 0…
4 2
2 4
2 4
4
0
4
思路导航：从竖式中的余数
可以看出：每3个4组成的数
被6整除。它们的余数依次为
（2、0、4）。100个4可以分成
100÷3=33组…1个4。第99个余数
是0，第100个数就是余数4。
1、555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
举一反三3
分析 ：我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。因为除数是两位数，第一个5上面没有商数字，在计算时要减去1个5。（2001-1）÷6=333……2，所以，当商是整数时，余数是9。
2、下列各小题中，当商是整数时，余数各是几？
举一反三3
（1）666…6÷4[50个6]
（2）888…8÷7[80个8]
分析 ：我们用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。余数是按照（2、2、2 、…）的规律性在变化。
分析 ：我们用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。余数是按照（1 、4、6、5、2、0…）的规律性在变化。
（3）444…4÷74[1000个4]
举一反三3
分析 ：我们用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。每三个4就可以整除74，余数是按照（0、4、44…）的规律性在变化。1000÷3=333组…1个4
（4）111…1÷5[1000个1]
分析 ：我们用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。余数是按照（1、1、1…）的规律性在变化。
有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
例题精讲4
思路：从这列数除以4后的余数中来寻找规律性。从表中可以
发现，这些余数是按照（3、0、3、3、2、1）顺序出现的。
因为2001÷6=333组…3，即是第334组中的第3个余数3。
1、有一串数排成一行，其中，第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是多少？
举一反三4
思路：从这列数除以3后的余数中来寻找规律性。从表中可以
发现，这些余数是按照（0、1、1、2、0、2、2、1）顺序出现的。
因为1991÷8=248组…7，即是第249组中的第7个余数是2。
2、一列数1、2、4、7、11、16、22、29…。第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2；依次类推，在这列数中，第1996个数被5除，所得的余数是多少？
举一反三4
思路：从这列数除以5后的余数中来寻找规律性。从表中可以
发现，这些余数是按照（1、2、4、2、1）的顺序出现的。
因为1996÷5=399组…1，即是第400组中的第1个余数是1。
3，有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
举一反三4
思路：从这列数除以3后的余数中来寻找规律性。从表中可以
发现，这些余数是按照（2、2、1、0、1、1、2、0）的顺序出现的。因为1000÷8=125组，即是第125组中的最后1个余数是0。
已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？ （2）甲、乙两数的差除以9余数是几？ （3）甲、乙两数的积除以9余数是几？
例题精讲5
思路导航：1、甲、乙余数的和除以9与甲、乙两数的和除以9余数相同。（5+7）÷9=1 …3
2、甲、乙两数的差除以9的余数与甲、乙两数余数的差除以9的余数相等。（7-5） ÷9=0 …2
3、甲、乙两数的积除以9的余数与甲、乙两数余数的积除以9的余数相等。 7×5 ÷9=3 …8
1、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲乙两数的和除以5余数是几？甲乙两数的差除以5余数是几？甲乙两数的积除以5余数是几？
举一反三5
思路导航：1、甲、乙余数的和除以5与甲、乙两数的和除以5余数相同。（ + ）÷5= …
2、甲、乙两数的差除以5的余数与甲、乙两数余数的差除以9的余数相等。（ - ） ÷5 = …
3、甲、乙两数的积除以9的余数与甲、乙两数余数的积除以9的余数相等。 × ÷5 = …
2、甲数除以9余7，乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲+乙+丙） ÷9还有余数吗？
举一反三5
思路导航：1、甲、乙、丙余数的和除以9与甲、乙、丙三个数的和除以9余数相同。（ + + ）÷ 9 = …
3、19941995 ÷7的余数是多少？
举一反三5
意思：19941995= 1994 ×1994 ×1994[1995个1994相乘]
根据计算规律可以发现：一个1994除以7的余数是6，每两个1994相乘的积除以7后，它的余数是1。1995 ÷2=997…1个1994再除以7的余数就是6。