第六讲 不定方程解应用题
如果方程中未知数的个数多于方程的个数，这个方程就叫做不定方程
（一）不定方程的概念
你能列方程解决下面两个问题吗？
1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙种本子，如果张明买了几本乙种本子？
2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。张明准备恰好花完5元钱买两种本子。有几种购买方案？
1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙种本子，那么张明买了几本乙种本子？
数量关系是：
甲种本子的钱+乙种本子的钱=50 （角）
设乙种本子买了x本
根据题意得 7×5+5x=50
2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。张明恰好花完5元钱买两种本子
数量关系是：
甲种本子的钱+乙种本子的钱=50（角）
设买甲种本子x本，乙种本子y本，
根据题意得 7x+5y=50
我们比较两个题目
1、设乙种本子买了x本
根据题意得 7×5+5x=50

2、设买甲种本子x本，乙种本子y本，
根据题意得 7x+5y=50

像7x+5y=50这样，未知数的个数多于方程个数的方程就叫做不定方程。
一个未知数，一个方程 有唯一解
两个未知数，一个方程 解不唯一
不定方程的解题思路和方法
我们再来看一个问题：
小明为校兵乓球队买50个兵乓球，超市里的兵乓球有两种包装，甲种每盒6个，乙种每盒8个，请你帮小明出个主意，怎样拿才能不拆毁包装又恰好拿够50个兵乓球？
解：设每盒6个兵乓球的拿x和盒，每盒8个兵乓球的拿y盒，
根据题意得 6x+8y=50
你认为方程中的x、y应满足什么条件？
确定x、y的范围
在 6x+8y=50中
你认为方程中的x、y应满足什么条件？
你认为怎样才能找到符合条件的x、y的值？
用符合条件的整数去试验
1、 x、y是整数；
2、 x≤8 y≤6
穷举法：由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
当y=1时6x+8×1=50 x=7
当y=2时6x+8×2=50 x=
当y=3时6x+8×3=50 x=
当y=4时6x+8×4=50 x=3
当y=5时6x+8×5=50 x=
当y=6时6x+8×6=50 x=
所以，有两种拿法：每盒6个的拿3盒，每盒8个的拿4盒或每盒6个的拿7盒，每盒8个的拿1盒都能拿够50个兵乓球。
由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
同余法：我们利用等式的性质把方程变形
得 y=
因为x、y都是整数，所以4︱(25-3x)
即3x≡25≡1(mod4)
经试验可知
x=3或x=7
所以有两种取法：
1、甲种3盒，乙种4盒；2、甲种7盒，乙种1盒。
同余法：我们利用等式的性质把方程变形
得 x=
因为x、y都是整数，所以3︱(25-4y)
即4y≡y≡25≡1(mod3)
经试验可知
y=1或y=4
解题思路
在方程的两个未知数中，给出一个就可以求出另一个。
一般步骤是：1、列出方程后根据题意确定未知数的取值范围，
2、在确定的范围内给出一个未知数的值，在代入求另一个。
常用解法有两种：穷举试验法；
同余试验法；
应用举例
例3 、现有3米长和5米长的钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接最节省材料？
我们想，每一种钢管都用整数根时最省。
解：设3米长的钢管用x根，5米长的钢管用y根，根据题意得 3x+5y=31
变形得 3x=31－5y

x=
穷举试验法x=
因为x、y是整数，所以y≤6, x ≤6
即 y=6、5、4、3、2、1、0
经过试验可以知道，y=2时，x=7;
y=5时，x=2
但是，因为3米的钢管只有6根，所以用3米长的2根，5米长的5根。
同余试验法 x=
因为x、y是整数，且x≤6、y≤6
所以3∣(31－5y)
即 5y≡31≡2y≡1(mod3)
经试验可知，y=2或y=5
当y=2时，x=7不合题意
当y=5时，x=2符合题意
答，用3米长的2根，5米长的5根。
课堂小结
1、在一个问题中，如果未知数的个数多于题目中所给出的条件，就会列出未知数比方程的个数多的方程，这样的方程就叫做不定方程。
2、不定方程的解题思路是：给出一个未知数的值，代入求另一个。
3、一般步骤是：先根据题目中的条件缩小未知数的范围，在逐个去试验。
4、试验方法：穷举试验法 同余试验法
同类巩固
课本183例4、
185页习题六1、2、3、5
练习册 第93页，2、3、4、5、6