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3.3.2 简单的线性规划问题
线性规划中的基本概念
不等式(组)
线性约束条件
可行解
线性约束
最大值或最小值
：在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可行域中的某条边界平行时，求目标函数z＝ax＋by的最值，最优解就可能有无数多个．
解决线性规划问题的一般方法
解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：
(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；
(2)确定线性目标函数；
(3)画出可行域，注意作图准确；
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．
1．

(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值．
【例1】
【变式1】
【例2】

【变式2】
(2010·广东高考)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含
8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
审题指导
题型三　线性规划的实际应用
【例3】
[规范解答] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移．
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． (10分)
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． (12分)
【题后反思】 用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：
(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；
(2)作图：准确作图，平移找点；
(3)求解：代入求解，准确计算；
(4)检验：根据结果，检验反馈．
某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？
解　设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
【变式3】
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值．
∴zmax＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．
答　该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解决；或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．
已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．
[思路分析] 如果把－1≤x＋y≤4,2≤x－y≤3看作变量x，y满足的线性约束条件，把z＝2x－3y看作目标函数，问题就转化为一个线性规划问题．
方法技巧　数形结合思想在线性规划中的应用
【示例】
在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.
所以z∈[3,8]．
答案　[3,8]
方法点评 如果两个变量(或其代数式)具有约束范围，且所求的目标式中含有这两个变量，可以考虑使用线性规划的方法求解，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上，整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．