3．3.2　简单的线性规划问题
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
3．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值．
4．掌握线性规划实际问题中的类型．
1．求目标函数的最值是本课的热点．
2．常以选择题、填空题的形式考查．
3．利用线性规划知识求解实际问题是本课的难点，多以解答题形式考查.
小汪是班里的班长，她计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场．经过实地考察，她算出需要大球数不少于10个，越多越好，小球数也越多越好，但是不少于20个，你能帮小汪设计一下怎样购买才合适吗？你能给出几种不同的购买方案呢？
线性规划中的基本概念
二元一次
二元一次
平面区域
最大值或最小值
1．下列目标函数中，z表示在y轴上的截距的是(　　)
A．z＝x－2y　　　　
B．z＝3x－y
C．z＝x＋y
D．z＝x＋4y
答案：　C
答案：　B
解析：　约束条件确定的可行域如图所示(阴影部分)
答案：　5
由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数已知．
解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解．
[题后感悟]　利用线性规划求最值，注意以下几点：
(1)准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．
(2)把目标函数值与过可行域内点的一组平行直线建立对应关系．

某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为______元．
由题目可获取如下信息：甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况如表所示：
根据题意列出约束条件，建立目标函数求解．
答案：　2 300
2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是(　　)
A．12万元　　　　　　　　 B．20万元
C．25万元 D．27万元
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．令z＝0，作直线l：5x＋3y＝0，易知当平移直线l至经过点(3,4)时，z取得最大值为zmax＝15＋12＝27，故选D.
答案：　D
要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A，B，C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
方法二：特值验证法
由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的地方，依次满足条件的整点A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．
将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值.12分
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张．
[题后感悟]　许多实际问题中需要整数解，而当解方程得到的解不是整数时，常用下面的方法求整数解：
(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．
(2)检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，比较后得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
3．医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐，已知甲种药片每片含5单位的蛋白质和10单位的铁质，售价为3元；乙种药片每片含7单位的蛋白质和4单位的铁质，售价为2元．若病人每餐至少需要35单位的蛋白质和40单位的铁质，应使甲乙两种药片各几片才能既满足营养要求又使费用最省？
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．

由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大值．
解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
[解题过程]　由约束条件画出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时，使直线在y轴上的截距最大，
∴－a＜kCD，即－a＜－1，
∴a＞1.
答案：　a＞1
[题后感悟]　这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．

因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．
答案：　[2，＋∞)
1．用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤
(1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是所需要的点．
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值和最小值．
[注意]　画可行域时，要特别注意可行域各边的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以便准确判断最优解．
2．最优解的确定
　最优解的确定可有两种方法：
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1[特别提醒]　当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
3．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题
(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加注意．
(3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
【正解】　同上述方法作出可行域，因为当直线l：5x＋4y＝t平移时，从A点起向左下方移时第一个通过可行域中的整数点是(2,1)，∴(2,1)是所求的最优解．故Smax＝5×2＋4×1＝14.