3.3.2简单的线性规划
问题
引入新课
如. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有的日生产安排是什么？
在现实生产、生活中，经常会遇到资
源利用、人力调配、生产安排等问题。
引入新课
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种
产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗
时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗
时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配
件和12个B配件，按每天工作8h计算，该
厂所有的日生产安排是什么？
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
由已知条件可得二元一次不等式组：
引入新课
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种
产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗
时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗
时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配
件和12个B配件，按每天工作8h计算，该
厂所有的日生产安排是什么？
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
由已知条件可得二元一次不等式组：
(2)将上述不等式组表示成平面上的区域，
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一
件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排
利润最大？
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一
件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排
利润最大？
设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的
利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为：
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一
件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排
利润最大？
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为：
当x、y满足不等式并且为非负整数时，
z的最大值是多少？
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量
x、y的约束条件，这组约束条件都是
关于x、y的一次不等式，所以又叫线
性约束条件.
线性约束条件：
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量
x、y的约束条件，这组约束条件都是
关于x、y的一次不等式，所以又叫线
性约束条件.
线性约束条件除了用一次不等式表示
外，有时也用一次方程表示.
线性约束条件：
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y
叫做目标函数.
目标函数：
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y
叫做目标函数.
由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式，
所以又叫线性目标函数.
目标函数：
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行
解，叫做这个问题的最优解.
例题分析
例1. 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足

下列条件：

求z的最大值和最小值.
讲授新课
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
讲授新课
我们先画出不等式组(1)表示的平面区
域，如图中△ABC内部且包括边界，点(0,0)
不在这个三角形
区域内，当x=0，
y=0时，z=2x+y=0，点(0,0)在直
线l0: 2x+y=0上.
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
讲授新课
l0
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
讲授新课
l0
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
讲授新课
l0
可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足2x+y>0.
即z>0，而且l 往右
平移时，z随之增
大，在经过不等式
组(1)表示的三角形
区域内的点且平行
于l的直线中，
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
讲授新课
l0
讲授新课
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
l0
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
l2
l0
讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
l1
l2
l0
讲授新课
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
所以，zmax=2×5+2=12， zmin=2×1+1=3.
4
2
2
4
6
y
x
O
C
A
B
l1
l2
讲授新课
练习1.解下列线性规划问题：求z＝2x＋y
的最大值和最小值，使式中的x、y满足
约束条件
讲授新课
解答线性规划问题的步骤：
讲授新课
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
讲授新课
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
讲授新课
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
讲授新课
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，从而找到最优解；
第四步：求出目标函数的最大值或最
小值.
练习1.求z＝x－y的取值范围，
使式中的x、y满足约束条件：
2．已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
[例3]　已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数在(3,1)处取得最大值．
解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．
[解]　由约束条件画出可行域(如图6所示)，为矩形ABCD(包括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a1.
[例4]　某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
变式4　某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．

又由 得A点坐标为(4,5)．

所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：2300