3.3.2 简单的线性规划问题
2. 包括边界的区域将边界画成 ，不包括边界的区域将边界画成 .
1.画二元一次不等式表示的平面区域，
常采用 的方法。
直线定界，特殊点定域
实线
虚线
问题
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件
问题
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组
解决问题
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
y
x
4
8
4
3
o
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为


它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。
M
（3）提出新问题：
概念
1. 由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。
2. 欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数。
3. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。
4. 满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。
5. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。
相关概念
y
x
4
8
4
3
o
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
可行域
可行解
最优解
例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析：将已知数据列成表格
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z， 那么
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为
x
y
o
5/7
5/7
6/7
3/7
3/7
6/7
它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。
M
如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。
M点是两条直线的交点，解方程组
得M点的坐标为：
所以zmin＝28x＋21y＝16
由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。
不等式组 表示的平面区域内的整数点共有（ ）个
巩固练习1:
1 2 3 4 x
y

4

3

2

1

0
4x+3y=12
解线性规划问题的步骤：
（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（4）求：通过解方程组求出最优解；
（5）答：作出答案。
(1)找.找出线性约束条件及目标函数 （2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
四、练习题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
解：作出平面区域
x
y
A
B
C
x
y
o
o
A
B
C
作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。
求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3
作出直线3x＋5y ＝z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。
求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。
二元一次不等式表示平面区域
直线定界，特殊点定域
简单的线性规划
约束条件
目标函数
可行解
可行域
最优解
求解方法：画、移、求、答
作业
习题3.3 A组 3、4