3.3.2　简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念：
1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式， 线性目标函数是x、y的 解析式．
3．线性规划问题：求线性目标函数在 条件下的 的问题．
一次不等式
一次
线性约束
最大值或最小值
4．可行解：满足线性约束条件的解(x、y)
由所有可行解组成的集合叫做 ．
5．最优解：使目标函数取得 时的可行解．
6．通常最优解在可行域的 取得．
可行域
最大值或最小值
边界处或顶点处
[分析]　求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值．
[点评]　(1)中z并不是直线2x＋3y＝z在y轴的截距，而是截距的3倍，因此，直线过点B时， 最小，z最小．
(2)中z并不是直线3x－y＝z在y轴的截距，而是截距的相反数，过A(－3,0)截距最大而z值最小，注意不要搞反．
迁移变式1　设x，y满足 则z＝x＋y(　　)

A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：如图3所示．
作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．
答案：B
[分析]　把所求问题赋给相关的几何意义，即圆与斜率．
[解]　画出满足条件的可行域如图4所示，
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
[例3]　已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数在(3,1)处取得最大值．
解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．
[解]　由约束条件画出可行域(如图6所示)，为矩形ABCD(包括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a1.
[答案]　a>1
[评析]　这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．
[例4]　某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
[点评]　对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：
①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解．
②检查优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解．
迁移变式4　某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由 得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：2300
(3)将直线ax＋by＝0平移，在可行域中，观察使 最大(或最小)时所经过的点．
(4)将该点代入目标函数，从而求出d的最大值或最小值．
2．最优解可有两种确定方法：
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1，k2，…，kn，且k13．寻找整点最优解的方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．