2.4 等比数列
等比数列的概念和通项公式
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
1.以下数列是等差数列吗？什么是等差数列？
an-an-1=d（常数），n>1,n∈N*
2.等差数列的通项公式是什么？
an=a1+(n-1)d
3.等差中项公式是什么？
an=dn+(a1-d)
，即an=pn+q
细胞分裂个数组成的数列：
1, 2, 4, 8, 16，…
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”.
如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：
计算机病毒感染，一轮可由一台计算机感染20台计算机（不重复），由1台计算机开始（第一轮），每轮被感染的计算机台数组成数列：
1, 20, 202, 203, 204，…
10000×1.0198 , 10000×1. 01982 , 10000×1.01983 ，
10000×1.01984 ，10000×1.01985
某人存入银行10000元，年利率为1.98％，那么按照复利计算，5年内各年末的本利和依次为
复利计算本利和公式：
本利和=本金×(1+利率)存期
① 1, 2, 4, 8, 16，…
③ 1, 20, 202, 203, 204，…
④ 10000×1.0198 , 10000×1. 01982 , 10000×1.01983 ，
10000×1.01984 ，10000×1.01985
探究：以下数列有什么共同特点？
从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.
教学目标
（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.
（2）理解等比数列的概念,能用函数的观点认识等比数列.
知识与能力
过程与方法
情感态度与价值观
（1）通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.

（2）通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
教学重难点
等比数列“等比”特点的理解、把握和应用.
重点：
（1）等比数列的概念的理解与掌握.

（2）等比数列的通项公式的推导及应用.
难点：
等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示.
1、定义
2、递推公式
理解
以下数列是否是等比数列？若是，公比是多少？
（1）1，2，6，18，54，…
（2）0，3，9，27，81, …
（4）-1，1，-1，1，-1，1,…
（3）2，2，2，2，2，…
q=1
q=-1
等比数列的注意点
2、等比数列的通项公式：
不完全归纳法
等比数列的通项公式：
累乘法
写出以下等比数列的公比，并求出通项公式（用首项和公比表示）.
q=2，
an=2×2n-1
q=20，
an=1×20n-1
q=1.0198，
an=10000×1.0198n-1
(1≤n≤5,n∈N*)
拓展：
可得
an与n的函数关系：
指数型函数
3、函数特性
(1) 1，2，4，8，16，…
判断下面等比数列的单调性
(5) 4，4，4，4，4，4，4，…
q=2
q=1
探究：等比数列的单调性如何？
由a1与q决定.
(2) -1，-2，-4，-8，-16，…
q=2
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
常数列
摆动
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
（1）当q>1,a1>0或0（2）当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列;
（3）当q=1时, {an}是常数列;
（4）当q<0时, {an}是摆动数列.
4.等比中项
如下的两个数之间插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，____，9 （2）-1，____，-4
（3）-12，___，-3 （4）1，____，1
±3
±2
±6
±1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
等比中项公式
注：当ab≤0时，等比中项G不存在.
等比数列的等价式
例2 根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
方法技巧：基本量法
方程思想----列方程（组）解出基本量a1，q，再求其他项.
1．数列1，37，314，321，…中，398是这个数列的（ ）.
（A）第13项 （B）第14项
（C）第15项 （D）不在此数列中
C
2．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
C
3．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，则x
的值为（ ）.
（A）－4 （B）－1
（C）1或4 （D）－1或－4
A
1. 等比数列的定义及数学表达式：
（n≥2，n ∈N*）；
2. 等比数列的通项公式：
an-an-1=d （n≥2）
常数
减—除
加—乘
加-乘
乘—乘方
累加法
累乘法
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定义
数学表
达式
通项公式证明
通项公式
类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
猜想1：
若an-k,an,an+k
是{an}中的三项,则
若n+m=p+q，则
an·am=ap·aq
猜想3：
若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an•bn}是公比为q·q′的等比数列.
从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为q2(可推广)
猜想4：
猜想5：
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)an≠0,且anan+2>0.
(2)an=amqn-m(n,m∈N*).
(3)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.
(4)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.
5.等比数列性质
项的性质
(5)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(6)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am , an , ap 成等比数列.
子数列
(8)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an• bn }是公比为qq′的等比数列.
(7)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的
等比数列.
构造新等比数列
例4 已知{an} {bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.
证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an•bn}的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以{an•bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.
例3 已知
是等比数列，且
求
解：∵
是等比数列，
∴
∴
∴
例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列，
成等比数列，
求
解：∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2,
又
成等比数列，∴
有ac＝1或ac＝－1,
当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，
∴ ac＝－1,
1.在等比数列
，已知
，求
解：∵
2.在等比数列
中，
，求该数列前七项之积。
解：
∴前七项之积
3.在等比数列
，已知
，求
解：
另解：∵
是
与
的等比中项，
∴
∴
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= .
⒉在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5= _ .
⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则
a30 =__________.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=_____.
-1458
6
30
480
或-30
6.如果三角形的三边成等比数列，则公比 q 的取值范
围是___________________.
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =___________.
证明或判断一个数列为等比数列的方法:
1. =q (n2 且q≠0){an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题和解答题)
2.an=cqn (c,q≠0){an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)
3.a2n+1=anan+2{an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)
等比数列的性质:
1.an=amqn-m（n,m∈N*）
2.若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*）
3.等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
4.a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列.
5.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.
作业
课本：P52 ～53练习3,4
P53 ～54习题 A组1,2,3,4,5,6,7,8
B组1,3（做在课本上）
《金榜》P46～48；
《金榜》检测训练套题P107.