2.4 等比数列
如果一碗面由256根面条组成,请问需要拉面师傅拉几次才能得到?
我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是:
我国银行的定期储蓄中有“复利”的支付利息的方式，现存入银行1万元，年利率为1.98%，那么5年内各年末的本利和分别是:
拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:
上面数列有什么共同特点 ?
从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
1.0198，1.01982 ,1.01983, 1.01983,1.01984, 1×1.01985
从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,
该数列叫做等比数列
这个常数叫做等比数列的公比，用q(q≠0)表示.
从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，
该数列叫做等差数列

这个常数叫做等差数列的公差，用d表示.
1.等比数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
其数学表达式：
对等比数列的认识：
练一练
是
不是
是
不确定
1、判别下列数列是否为等比数列?
是
2.等比数列的通项公式
①归纳猜想法
②叠乘法
等比数列的通项公式为:
②函数观点
①方程思想
类指数函数式
解方程,知三求一
（1）数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
●
●
●
●
●
n
an
（2）数列：
●
●
●
●
●
●
●
n
an
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
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●
●
●
●
n
an
（4）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
n
an
例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物质的半衰期为多少？（精确到1年）
例2、如右边框图，请写出所打印数列
的前5项，并建立数列的递推公式，
这个数列是等比数列吗？
例3: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：
3.小结
an+1-an=d
d 叫公差
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
你还知道等差数列有什么性质吗?
q叫公比
an=a1qn-1
an=amqn-m
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， , 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
4、等比中项
思考：我们知道，等差数列{an}满足下列公式
（1）an=am+(n-m)d；
（2）若m+n=p+q，则am+an =ap+aq
那么，等比数列是否也有类似的公式呢？
在等比数列{an}中，
（1）an=amqn-m；
（2）若m+n=p+q，则am·an =ap·aq
特别地，若m+n=2p，则am·an =ap2
例5、已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列
{anbn}还是等比数列吗？试证明你的观点。
证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则
∵pq是一个与n无关的常数，
∴{anbn}是以pq为公比的等比数列.
思考：那数列 是不是也是等比数列呢？ {an+bn}呢？
探究1：若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？
探究2：若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的
数列是等比数列吗？
√
√
√
×
例6、已知三数成等比数列，它们的和等于14，它们的积是64，求这三个数.
故这三个数为2，4，8或8，4，2.
（1）证明：∵ a1=1>0
∴由an+1=2an+1可知{an}是递增数列
∴an>0，故an+1≠0
∵an+1+1=2an+2=2(an+1)
∴数列{an+1}是等比数列.
思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
（1）求证数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
（2）解：∵ a1=1
∴a1+1=2
∴数列{an+1}是一个首项为2，公比也为2
的等比数列
∴an+1=2×2n-1=2n
故an=2n-1
思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
（1）求证数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
练习：
（1）在等比数列{an}中，若2a4=a5+a6，则公比q=______.
（2）若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=______.
（3）在等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，则a5=_______.
（4）已知是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，
那么a3+a5= ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
1或-2
25
A
6
练习：
2.若lga，lgb，lgc成等差数列，则a，b，c成 数列；
等比
拓展：若 a，b，c成等比数列，则lga，lgb，lgc是否
一定成等差数列？
不一定，只有当a，b，c都大于0才成立.
1.若2a，2b，2c成等比数列，则a，b，c成 数列；
等差
归纳总结
判断一个数列是等比数列常用的方法：
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
比较：