课前小练
an+1-an=d
d 叫公差
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
2.4 等比数列
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？
情境一:折纸
问题情境:
对折一次
对折二次
对折三次
对折四次
…...
…...
…...
情境二:《庄子·天下篇》中写到：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
设木棰长度为1
木棰长度
第一天取半
第二天取半
第三天取半
第四天取半
......
......
......
观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点?
2, 4, 8, 16, …;
①②
共同特点：从第二项起，每一项与前一项
的比都等于同一个常数．
-2, 2, -2, 2, …. ④
讲授新课
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示.
(q≠0)
2.等比数列定义的符号语言:
(1) 1，3，9，27，…
(3) 5， 5， 5， 5，…
(4) 1，-1，1，-1，…
(5) 1，0，1，0，…
练 习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由。
是
是
是
是
a1=1, q=3
a1=5, q=1
a1=1, q= -1
不是
(6) 0，0，0，0，…
(7) 1, a, a2, a3 , …
(8) x0, x, x2, x3 , …
(9) 1，2，6，18，…
不是
不是
小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：
a1=x0, q=x
是
不是
注意：
(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0；
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0；
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
思考：
如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G应该满足什么条件？
反之，若
即a,G,b成等比数列.
∴a, G, b成等比数列
则
分析：
由a, G, b成等比数列得：
(ab>0)
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项.
3.等比中项：
注意：若a，b异号则无等比中项,
若a，b同号则有两个等比中项.
练习：
一、等比数列的通项公式:递推法
等比数列的通项公式：叠乘法
等比数列注：
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即
（3） q=1时，{an}为常数列；
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式为：
4.等比数列的通项公式：
5.等比数列通项公式的推广：
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
6.等比数列的公比公式：
例、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么
因此
课堂互动
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
答：它的第一项是36 .
答：它的第一项是5，第4项是40.
练习．
课堂小结
从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数
公差(d )
d 可正、可负、可零
从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数
公比(q )
q可正、可负、不可零
答案：4或－4
精讲精练、创新
课后作业
已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,求a2=？
等比数列的性质及应用
常数
减—除
加—乘
加-乘
乘—乘方
迭加法
迭乘法
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定 义
数 学
表
达 式
通项公式证明
通 项 公 式
an-an-1=d （n≥2）
A
练习:
512
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：＿＿＿＿＿＿
an=2 n－1
上式还可以写成
可见，表示这个等比数列
的各点都在函数
的图象上，如右图所示。
0 1 2 3 4 n
an
8
7
6
5
4
3
2
1
·
·
·
·
通项公式法:an= b·cn
探究:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？
正负交替
1.对公比q的探究： （a1 ﹥0时）
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
2.对公比q的探究： （a1 <0时）
递增
递减
常数列
递增
递减
常数列
单调性
a1<0
a1>0
an=a1qn-1
摆动数列
摆动数列
类比等差数列的单调性——公差d来决定，等比由谁决定？
[自测·牛刀小试]
答案：D
在等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}
是 (　　)
A．递增数列　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定数列的增减性
解析：当a1>0,0————— ————————————
等比数列的判定方法
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且
an2＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
例、有三个数成等比数列，若它们的积
等于64，和等于14，求此三个数？
注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为
练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27，
它们的立方和为81，求这三个数。
灵活设项求解等比数列
例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，
它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们
的和等于12，求此四个数？
注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为
因为这种设法表示公比大于零！
练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
可以设这四个数为a,b,c,d
15,9,3,1或0,4,8,16
变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成
等比数列
5．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这
三个数分别是________．
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可．
【1】
作业
三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数
【2】
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可．
【例2】
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
【变式2】
等差数列的性质
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？
放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期
1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息）
本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
特点：每一项与前一项的差是同一个常数
2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利）
本金和=本金×（1+利率）存期
例如：存入10000元，利率为1.98%
特点：后一顶与前一项的比是同一个常数
等比数列的例题
它是一个与n无关的常数，
探究
是
特别地，如果是 等比数列，c是不等于０的常数，那么数列 也是等比数列．
a．若{an}{bn}是项数相同的等比数列，
都是等比数列
则{anbn}和
b．若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，
那么{can}也是等比数列
等比数列的性质
那么：
等比数列的性质
特殊地:
4、等比数列所有奇数项符号相同；
所有偶数项符号相同。
二、等比数列的性质
例1：在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10.
练一练：
1．在等比数列 {an}中，若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求
a3＋a5 的值．
512
25
1或64
C
练习．1.在等比数列{an}中，
且q=2，求a1和n.
1.判断
⑴b2=ac a、b、c成等比数列；（ ）

在等比数列{an}中，
⑵ a8a10=a18； （ ） ⑶ a2+a98=a3+a97； （ ）
⑷ a8+a10=a18；（ ） ⑸ a2a98=a3a97； （ ）
⑹ a2a98= ；（ ）
2. 若a、b、c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴
交点的个数是 .

3. 在等比数列{an}中，a9a10a11a12=64，则a8a13= .

4. 已知x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，求x.
课 堂 练 习
√
√
×
×
×
×
0或1
-4
请对比等差数列的性质探索等比数列的性质
等比数列的判定与证明
练习：已知{an}为等比数列，
(1) a5=2, a9=8, 求a7= ___
(2) a5=2,a10=10,则a15=_____
(3)a1=1/8, q=2,a4与a8的等比中项_____
(4) a6=3, 则a3a4a5a6a7a8a9=____
(5) a4a15= -2, 则a3a6a12a17=_____
(6) a9 a10 a11 a12=64, 则 a8 a13= ____
定义
公比(差)
等比(差)
中项
通项公式
性质
(若m+n=p+q)
q≠0且q∈R
d∈R
等比中项
等差中项
(1)求通项公式an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．
解　(1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
即an＝－2n＋21；
【变式4】 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
能力提高
[自主解答]　(1)证明：∵由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3.
由Sn＋1＝4an＋2，①
知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，②
①－②得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.
∴{bn}是首项b1＝3，公比q＝2的等比数列．
————— ————————————
等比数列的判定方法
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且
an2＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
复习回顾
2.等比数列的通项公式：
3. a与b的等比中项是
是等比数列
（1）
（2）任一项an≠0且q≠0
（3） q= 1时， 为常数列
请对比等差数列的性质探索等比数列的性质