1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
问题提出
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？
sinα=MP
cosα=OM
4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
正、余弦函数的图象
知识探究（一）：正弦函数的图象
思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π]内的图象？
x
y
1
-1
O
2π
π
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？
思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？
思考6：当x∈[2π，4π], [-2π，0],…时，y=sinx的图象如何？
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
思考8：你能画出函数y=|sinx|，
x∈[0，2π]的图象吗？
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；
(2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
y=1+sinx
y=-cosx
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.
作业：P34练习：2
P46习题1.4 A组: 1
第一课时
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
问题提出
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？
2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.
函数的周期性
知识探究（一）：周期函数的概念
思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？
.
思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少？为什么？
正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
理论迁移
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.
2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.
作业：P36练习：1，2，3.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
问题提出
1.周期函数是怎样定义的？
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
函数的奇偶性、
单调性与最值
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？
思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
[-|A|，|A|]
思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
理论迁移
小结作业
1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinωx是奇函数，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？
3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
正切函数的
图象和性质
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x
在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？
思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？
思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
正切函数的值域是R.
知识探究（一）：正切函数的图象
思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？
思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？
理论迁移
小结作业
2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.
作业:P45练习:2，3，4，6.
三角函数的图象与性质
习题课
作业:
P46习题1.4A组:2，10.
P47习题1.4B组: 1，2.