正弦函数、余弦函数的图象
1.正弦线、余弦线的概念
设任意角α的终边与单位圆交于点P.过点P做x轴的垂线,垂足为M.
α 的终边
P(x,y)
M
则有向线段MP叫做角α的正弦线.
有向线段OM叫做角α的余弦线.
复习回顾
正弦函数y =sinx与余弦函数
y=cosx的定义域都为R
函数y=sinx,x[0,2]的图象
1.几何法作图:
一、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
问题:如何作出正弦函数的图象？
途径:利用单位圆中正弦线来解决.
o1
A
.
.
.
.
.
.
.
1
-1
O
y
x
●
●
●
y=sinx (x∈[0, 2π] )
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1.几何法作图:
2.几何法作图步骤:
☞在Ox轴负半轴上任取一点O1为圆心,以单位长为半径作圆;
☞从这个圆的右半圆和Ox轴的交点A量起把这圆分成12等分,并分别把各分点与圆心连结起来,这样使圆心角也同样被分成12等分;
☞在Ox轴上,从原点起向右取长度等于2(即单位圆周长)的一段,也分成12等分;
☞过圆上的各分点分别作出它们的纵坐标(由各点向Ox轴作垂线)显然,这些垂线的长度和方向就表示对应角的正弦;
☞过圆上的各分点分别作平行于Ox轴的直线,分别与由Ox轴上表示对应角的点所作的Ox 轴的垂线相交,这些交点就是y=sinx的图象上的各点;
☞把这些点平滑地连结起来就得出正弦函数y=sinx在[0,2π]区间上的图象.
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx x[0,2]
y=sinx xR
sin(x+2k)=sinx, kZ
正弦函数y=sinx, xR的图象叫正弦曲线.
(1)列表
(2)描点
(3)连线
2.用描点法作图(在精确度要求不太高时)？
4.描点法正弦函数图象(y=sinx)的关键:
①在函数定义域内取值;
由小到大的顺序取值;
取的个数应分布均匀;
应注意图形中的特殊点(如:端点,交点,顶点);
尽量取特殊角
(1)列表时,自变量 x 的数值要适当选取
(2)描点连线时应注意
①两坐标轴上的单位长度尽可能一致,以免改变图象的真实形状;
变量x,y数值相差悬殊时,也允许采用不同长度单位;
描点时一定要用光滑的曲线连结,防止画成折线
3.五点法作图
☞简图作法(五点作图法)
① 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
②描点(定出五个关键点)
③连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
☞五个关键点:
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
3.五点法作图
1
-1
0
1
-1
0
0
(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？
二、余弦函数y=cosx(x∈R)的图象
(1)图象变换法
(2)五点作图法
余弦函数的“五点画图法”
五点法的规律是：
横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行；
上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
0
1
-1
0
1
例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图
解:列表
用五点法描点做出简图
1
0
-1
0
0
1
2
1
1
0
例题讲解
y=1+sinx, x∈[0, 2π]
函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx,
x∈[0, 2π]的图象之间有何联系？
例2.作函数 y=-cosx, x∈[0, 2π]的简图.
解:(1)按五个关键点列表
(2)用五点法做出简图
函数y=-cosx,与函数y=cosx, x∈[0,2π] 的图象有何联系？
1
-1
0
1
-1
-1
0
0
1
0
例3.作函数 y=1-cosx, x∈[0, 2π]的简图.
例4.作函数y=|sinx|,x∈R的简图
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图
(２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
图象
描点法
几何法
五点法
正弦曲线、余弦曲线
图象画法
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.
课堂小结
作业：P34 第1题
P46 第1题